Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Зиманова машина катастроф

Мы начнем с машины, изобретенной первой. Ее придумал в 1969 г. Э. К. Зиман из Уорикского университета. Поэкспериментировав недели три с резиновыми полосками и канцелярскими скрепками, он усовершенствовал первоначальную идею до того варианта, который излагается ниже. Описание этой машины впервые было опубликовано Зиманом в [2]; кроме того, ею занимались Постон и Вудкок [3] и Дюбуа и Дюфур [41.

Основной частью машины является лежащее на доске колесико (рис. 1.1), которое может свободно вращаться вокруг своей оси; оно должно быть не слишком тяжелым: если трение, замедляющее движение, или инерция, поддерживающая его, окажутся слишком большими, то это затемнит как раз те черты в поведении колёсика, которые нас

Рис. 1.1

Рис. 1.2

интересуют. К точке В на краю колесика прикрепляются две резинки. Второй конец из них закреплен на доске в точке А достаточно далеко от центра О колесика таким образом, чтобы резинка всегда была натянутой. Второй конец другой резинки (точка С) прикрепляется к указке, которую держат в руке. (Благодаря этому возможно управлять концом С с небольшого расстояния, не заслоняя его от себя.) Удобен такой выбор размеров: радиус колесика 3 см, длина отрезка см, длина каждой резинки 6 см.

Независимо от того, как выбраны радиус колесика, длины резинок и (в нерастянутом состоянии) и расстояние (лишь бы оно было больше, чем качественная картина явления окажется такой, как мы ее описываем ниже. В этом факте проявляется свойство „структурной устойчивости", которое мы будем подробно обсуждать дальше: изменения параметров не приводит к существенным качественным изменениям в поведении системы; более точно об этом будет сказано в свое время. Тем не менее мы будем иметь в виду машину, для которой приняты определенные размеры; анализ ее работы будет нами проведен с помощью чертежа, построенного компьютером (рис. 1.2). Поэтому сейчас мы приведем детальные инструкции для машины, размеры которой в точности отвечают этому чертежу.

Сделайте фотокопию рис. 1.2. Увеличенная или уменьшенная копия также приемлема, так как выбор масштаба не влияет на поведение машины и на его анализ. Приклейте фотокопию к доске или плотному картону и закрепите ось колесика в точке О. Прикрепите к колесику штырек из жесткой проволоки перпендикулярно к плоскости доски на расстоянии от О. (Удобно сделать колесико чуть пошире, поскольку важно лишь положение штырька, и смонтировать штырек заодно с осью, как показано на рис. 1.3.) Другой штырек прикрепите перпендикулярно доске в точке А. На каждом из этих двух штырьков выпилите круговой желобок; оба желобка должны быть на одной и той же высоте над доской, повыше выступающей центральной части колесика. Возьмите кусок резинового шнура хорошего качества (не следует вырезать его из резиновой ленты, шляпная резинка тоже не годится; лучше всего шнур квадратного сечения, используемый для рогаток или для авиамоделей). Длина шнура должна быть немного больше, чем учетверенный диаметр 2г колесика в вашей копии рис. 1.2. Прикрепите середину шнура к штырьку А, стянув шнур ниткой так, чтобы получилась петля вокруг желобка (рис. 1.4(a)). На сложенном вдвое ненатянутом шнуре отметьте точку,

расстояние которой от А равно . Стяните двумя нитками половины шнура так, чтобы они туго охватывали штырек В по желобку (рис. 1.4(b)). Прикрепите указку в точке, расположенной еще на дальше вдоль резинки Надо постараться, чтобы расстояние было в точности равно ; сначала удобно сделать на сгибе шнура петлю, затем прикрепить резинки к штырьку В и лишь потом надеть подготовленную петлю на штырек А.

Теперь можно начинать эксперименты с машиной. Вы увидите, что если конец указки С, держа его одной высоте с А над доской, помещать над точками, лежащими вне четырехугольной области (см. рис. 1.2), то колесико под действием резинок останавливается лишь в одном положении. Если вы повернете его в другое положение и отпустите, то оно „прыгнет" обратно. Это единственное положение зависит от С, и плавное перемещение С приводит к плавному изменению положения колесика.

Если же ввести конец указки внутрь области то оказываются возможными два положения равновесия. При плавном входе в область с одной стороны колесико плавно приходит в одно из этих положений; при входе с другой стороны колесико после подведения конца указки С к той же точке окажется в другом из двух возможных положений.

Лишь если вы чисто умозрительно сможете решать, что произойдет, если ввести указку слева через верхнюю или нижнюю сторону области и вывести ее затем направо через верхнюю или нижнюю сторону (всего четыре возможности), вам не нужно изготавливать машину, чтобы понять, как она работает.

Если времени у вас мало, вы можете за несколько минут изготовить достаточно удовлетворительную с качественной точки зрения модель, используя жесткий картон, аптекарские резинки и чертежные кнопки (все это всегда под рукой). Цепляйте резинки за кнопку так, как показано на рис. 1.5, привязывать их к колесику „намертво" нельзя,

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Рис. 1.6

они запутаются при его вращении. Положение и точная форма области О при этом немного изменятся, но их можно определить экспериментально. (Как?)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление