Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Многообразия

Многообразие — это просто многомерный аналог гладкой кривой или поверхности. Нам не потребуются никакие глубокие математические свойства многообразий, а только само это понятие. Гладким подмногообразием в называется всякое подмножество М в обладающее следующими свойствами:

(a) локально оно выглядит как кусок пространства ,

(b) оно вложено в гладко, т. е. имеет единственную касательную гиперплоскость в каждой точке.

Рис. 4

Число называется размерностью многообразия. Одномерное многообразие — это кривая, двумерное многообразие — поверхность. На рис. 4.9 показаны некоторые типичные многообразия в все размерности 2. На рис. 4.10 представлены множества, которые не являются многообразиями, потому что их локальное устройство неправильно, а на рис. 4.11 — множества, которые негладко вложены в объемлющее пространство.

Если мы хотим выразить условие (а) более формальным образом, то надо ввести понятие карты (или локальной системы координат) в точке Это — локальный диффеоморфизм где — некоторое открытое подмножество в — окрестность точки х относительно М. Стандартные координаты в индуцируют (локальные) координаты в М (рис. 4.12). В книгах для физиков и инженеров их часто называют криволинейными (или обобщенными) координатами. Со словом „координата" связано также слово „параметр"; иногда объекты, ведущие себя хуже, чем многообразия, параметризуют при помощи особых (сингулярных) отображений (т. е. отображений, не являющихся локальными диффеоморфизмами).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление