Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Структурная устойчивость

Теперь мы рассмотрим действие малого возмущения на критическую точку. Интуитивно, функция мала, если малы все ее производные в точках из некоторой фиксированной окрестности начала. Пусть функция имеет критическую

точку в 0. Возмутим ее немного, добавив малую функцию Что произойдет?

Если производная в начале ненулевая, начало вообще перестанет быть критической точкой. Фактически может случиться так, что больше не будет иметь ни одной критической точки. Но чтобы начать с простейшего случая, облегчим себе жизнь и предположим, что

Пусть функция морсовская, т. е. критическая точка в начале невырожденна. Тогда

Если возмущение достаточно мало, то и

так как определитель гессиана меняется непрерывно. Значит, также будет морсовской функцией. Нетрудно чуть усилить это рассуждение и доказать, что и тип седла останется для тем же, что и для критические точки будут -седлами с одним и тем же , значит, эквивалентны.

Мы скажем, что функция структурно устойчива, если для всех достаточно малых гладких функций критические точки имеют один и тот же тип, другими словами, если эквивалентны, после подходящего переноса начала. Рассуждение, которое мы провели выше, показывает, что вблизи морсовской критической точки функция всегда структурно устойчива. Мы обобщим это понятие на наиболее важный для теории катастроф случай — на семейства гладких функций — в гл. 6.

Теперь отбросим условие, что Типичный пример того, что может случиться, мы получим, взяв (где — малая константа). Возмущенная функция

имеет морсовскую критическую точку Таким образом, критическая точка сдвинулась (причем величина смещения гладко зависит от ), но не изменила своего типа.

Для вырожденных критических точек картина оказывается совершенно иной. Если мы возмутим добавив член то для положительных вообще не будет ни одной критической точки, а для отрицательных их будет две — один морсовский максимум и один морсовский минимум (рис. 4.6). Итак, как критическая точка структурно неустойчива. Аналогичным образом в результате возмущения членом дает либо единственный морсовский минимум, либо два минимума и один максимум (рис. 4.7). Чем выше степень тем хуже ведет себя в этом отношении: возмущение

Рис. 4.6

может привести к четырем критическим точкам — двум максимумам и двум минимумам — и это независимо от того, насколько малым мы берем возмущение (рис. 4.8).

Можно доказать (см. Милнор что критическая точка структурно устойчива, если и только если она невырожденна; следовательно, каждая вырожденная критическая точка структурно неустойчива.

Рис. 4.7

Далее, структурная устойчивость является типичным свойством в смысле, который мы объясним позднее. Однако, как мы увидим в гл. 7, в случае семейств гладких функций ситуация будет совсем иной.

Заметьте, что анализ малых возмущений позволяет нам провести четкое различие между несмотря на их поверхностное сходство: при возмущениях они расщепляются на разное число критических точек. Это — качественное различие и, конечно, оно может оказаться важным в приложениях.

Наша очередная задача — объяснить, как можно усмотреть геометрически типичность морсовских функций.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Рис.

В следующих двух параграфах вводятся нужные понятия, в третьем обсуждаются геометрические причины структурной устойчивости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление