Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Лемма расщепления

Один более прославленный вариант леммы Морса позволит нам навести определенный порядок в вырожденной критической точке, «расщепив» функцию на „морсовский кусок", зависящий от части переменных, и „вырожденный кусок", зависящий от остальных переменных, число которых равно корангу особенности. Это важный и мощный результат, имеющий основное значение для всей теории, но при всем том он мог бы появиться на свет гораздо раньше — его доказательство вполне элементарно и не требует привлечения никаких глубоких теорем теории катастроф. Его точная формулировка такова:

ТЕОРЕМА 4.5. Пусть — гладкая функция с матрица Гессе которой в 0 имеет ранг (икоранг Тогда эквивалентна вблизи начала функции вида

где

— некоторая гладкая функция.

Доказательство. Линейной заменой координат мы можем преобразовать матрицу Гессе в 0 к виду

Теорема о неявной функции позволяет нам представить (локально) множество

как график

некоторой гладкой функции

Переведем этот график в координатную плоскость при помощи отображения задаваемого формулой

которое, как легко видеть, является локальным гомеоморфизмом. (Этот шаг является решающим для всего рассуждения как начало наведения порядка — придание правильного вида зависимости от переменных Положим Локально каждая функция

имеет морсовскую критическую точку в начале (пространства хотя и не обязательно принимает там значение нуль. Положим

Теперь с помощью того же рассуждения, что и в первой части доказательства леммы Морса (обобщив предварительно лемму 4.1 на случай, когда равняется нулю вдоль „многомерной оси“), мы можем показать, что

где при каждом выборе функция

гладкая. Вторая часть доказательства леммы Морса, примененная к этому выражению с учетом зависимости от переменных как от параметров, приводит к виду

что и доказывает теорему. (По существу, после того как начальный шаг по наведению порядка сделан, весь процесс приведения к стандартному виду состоит в том, чтобы передоказать лемму Морса для случая гладкой зависимости от параметров

В некотором достаточно сильном смысле слова эта теорема утверждает, что поведение функции вблизи вырожденной критической точки можно изучить, привлекая лишь число переменных, равное корангу матрицы Гессе. Поэтому, скажем, критическая точка коранга 3 функции от 2001 переменных потребует от нас изучения лишь некоторой функции от трех переменных. Это сведение к малому числу переменных и есть то, что делает лемму расщепления столь полезной и столь удивительной. Коранг матрицы Гессе мы будем называть также корангом функции в рассматриваемой критической точке.

В гл. 6 мы сформулируем более общие варианты леммы Морса и леммы расщепления для семейств функций — эта переформулировка потребует от нас совсем мало усилий — и дадим их доказательство.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление