Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Функции нескольких переменных

В предыдущем параграфе было показано, что функцию одной переменной можно заменить первым ненулевым членом ее ряда Тейлора в критической точке, не внеся качественных

изменений в ее поведение. Это счастливое обстоятельство уже не имеет места для функций нескольких переменных. Пусть, скажем,

Первая ненулевая струя есть Но она не эквивалентна относительно локальных замен координат, так как решения уравнения

образуют пару прямых (рис. 4.5(a)), в то время как решения уравнения

т. е. уравнения

образуют одну прямую

(рис. 4.5(b)). Очевидно, эти два множества решений качественно различны.

Аналогично, не эквивалентна никакой своей струе для Источник трудности здесь лежит вовсе не в большой абсолютной величине члена — с тем же успехом мы могли бы взять и функцию

Тем не менее верен такой факт (хотя мы и не можем объяснить его до гл. 8): если мы возьмем любую функцию вида

то и будут эквивалентны. Таким образом, для некоторых функций некоторые струи, хотя и не обязательно первые ненулевые, могут доставлять хорошее качественное приближение. Как именно обстоит дело, зависит только от вида самой струи и, в частности, не зависит от того, является ли рассматриваемая функция аналитической. Скажем, функция

адекватным образом представляется своей -струей для достаточно малых х и у.

Суть дела здесь не просто в том, что - „вырожденный“ многочлен; чтобы подчеркнуть всю тонкость проблемы, мы прийедем сейчас один пример, который полностью будет

Рис. 4.5

рассмотрен в § 13 гл. 8. Функция

обладает следующим любопытным свойством. Если есть функция, -струя которой равна то может и не быть эквивалентна Но если 4-струя равна то будет эквивалентна Таким образом, мы должны посмотреть на члены порядка 4 в разложении Тейлора для хотя их нет, а вот члены порядка 5 и выше уже не имеют значения.

Если функция имеет струю, адекватно описывающую ее качественное поведение в указанном выше смысле, то функция называется конечно-определенной, а струя — достаточной. Если пренебречь носящим чисто технический характер различием между функциями и струями, то и струю можно назвать конечно-определенной. В гл. 8 мы во всех подробностях покажем, как проверять функции на конечную определенность, а также опишем много других важных вычислительных методов. Эти методы извлечены из различных математических работ, в основном из работ Мезера [10—15], которые содержат полные доказательства. В гл. 8 мы объясняем с использованием менее ученой математики, почему результаты оказываются такими, какие они есть, но не доказываем их.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление