Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 Функции одной переменной

Изучим теперь критические вырожденные точки в простейшем случае функции Допустив (чего всегда можно добиться сдвигом координат), что имеет критическую точку в начале и мы, следовательно, имеем также Критическая точка невырожденна, если и только если По лемме Морса в этом случае существует гладкая локальная замена координат, в результате которой принимает вид

где знак совпадает со знаком

Если же мы можем получить более тонкую классификацию, взяв следующие члены ряда Тейлора для Однако такая классификация не скажет ничего о функциях типа для которых все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.

ЛЕММА 4.3. Пусть — гладкая функция, для которой

Тогда в некоторой окрестности нуля существует гладкая функция I, такая что

Доказательство Проведем индукцию по При применима лемма 4.1. При используя ту же лемму, находим, что

где А — гладкая функция. Дифференцируя это соотношение раз, получаем

Полагая заключаем, что

Значит, по предположению индукции

где I — гладкая в окрестности начала функция с Следовательно,

как и утверждалось.

Следуя нашей главной линии приведения функций к простому виду, удобному для классификации, с помощью координатных замен, докажем теперь такой результат.

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть -гладкая функция, для которой

но

Тогда с помощью некоторой гладкой локальной важны координат ее можно привести к виду

причем в последнем случае знак совпадает со знаком

Доказательство. Выделяя -струю, запишем

где функция имеет порядок (Как уже раньше отмечалось, это верно независимо от вопросов сходимости.) Положим

По лемме 4.3 имеем в некоторой окрестности нуля

где — гладкая функция. Значит,

причем знак совпадает со знаком а, если х лежит в окрестности начала достаточно малой, чтобы Для х из такой окрестности очевидно, Положим

где в качестве корня степени берется единственный положительный корень. Мы утверждаем, что является локальным диффеоморфизмом. Чтобы убедиться в этом, обратимся к теореме об обратной функции. Ясно, что функция гладкая. Далее,

следовательно, по теореме об обратной функции есть локальный диффеоморфизм. Но

так что замена координат переводит Итак, гладкой локальной заменой координат мы привели к виду В случае когда к нечетно, мы можем заменить х на и сделать знак положительным.

Теоремы 4.2 и 4.4 приводят к важному понятию. Две гладкие функции называются эквивалентными вблизи нуля, если существуют такой локальный диффеоморфизм у: в окрестности нуля и такая постоянная у, что вблизи нуля

(Здесь у — гладкая обратимая локальная замена координат, а сдвигающий член у нужен, чтобы вернуть значение функции в 0 к исходному и учесть тем самым различные производившиеся нами переносы начала.) В этой терминологии теорема 4.2 утверждает, что всякая функция вблизи невырожденной критической точки эквивалентна одной из стандартных морсовских форм, а теорема 4.4 — что функция с ненулевым рядом Тейлора эквивалентна функции с соответствующим к. (В математической литературе описанное нами отношение называется правой

Рис. 4.4

эквивалентностыо, чтобы отличить его от некоторых других эквивалентностей, с которыми также приходится иметь дело. Однако в данной книге никакие из этих других отношений нам не понадобятся, и мы отбросим прилагательное «правый».)

Довольно легко проверить, что эквивалентны, если и только если и (для четных знаки совпадают; действительно, того факта, обращается соответствующая производная в 0 или нет, гладкие замены изменить не могут. Это означает, что, например, точки перегиба для в начале относятся к различным типам критических точек в нашей классификации, хотя на первый взгляд они выглядят примерно одинаково. Точно так же минимум типа отличается от минимума типа Эти различия окажутся важными, когда мы перейдем к рассмотрению свойств устойчивости далее в этой главе.

То, что мы доказали, можно интуитивно выразить, сказав, что поведение критической точки функции одной переменной определяется ее первой ненулевой струей (если таковая существует). Достаточно широко распространен миф, что аналогичным образом обстоит дело и для функций двух и более переменных; в действительности это не так, и одна из чисто математических целей теории катастроф заключается в том, чтобы выяснить, что же происходит на самом деле. Примеры следующего параграфа призваны подорвать этот миф, а выполнение более деликатной задачи — заменить его каким-либо правильным утверждением — мы отложим до гл. 8.

Локальный характер теоремы 4 существен. Функция

имеет в начале локальный минимум типа но на некотором расстоянии от него она имеет еще два локальных максимума (рис. 4.4) и поэтому не может быть глобально эквивалентна На вопрос о том, „насколько локальна эта локальность", можно в рассматриваемом случае ответить, проанализировав доказательство теоремы 4.4. Ответ такой: „пока не встретится какая-нибудь другая критическая точка". Для функций нескольких переменных соответствующее предписание оказывается более сложным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление