Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Лемма Морса

Теперь мы покажем, что вблизи невырожденной критической точки функцию можно заменой переменных привести к некоторой простой стандартной форме. Так как этот материал нельзя считать частью стандартного математического багажа ученых, мы приводим подробное доказательство.

ЛЕММА 4.1. Пусть — гладкая в какой-либо окрестности начала функция и Тогда в некоторой (возможно, меньшей) окрестности начала найдутся функции такие что

причем все гладки и

Доказательство. Имеем

Следовательно, можно взять

Частное дифференцирование по показывает, что

Рис. 4.3

Теперь мы можем доказать лемму Морса (для нас это теорема!). (лемма Морса). Пусть и — невырожденная критическая точка гладкой функции В некоторой окрестности точки и можно указать такую локальную систему координат удовлетворяющую условию для всех что

Доказательство. Мы можем перенестиначало значит, можем считать, что Допустим также, Тогда по лемме 4.1

в некоторой окрестности нуля. Так как нуль — критическая точка, мы имеем

Следовательно, снова по лемме 4.1, существуют гладкие функции такие что

и можно написать

Если заменить на

то уравнение (4.1) останется верным и в то же время будет выполнено условие

Двукратное частное дифференцирование соотношения

Значит, матрица

— неособая, поскольку 0 — невырожденная критическая точка.

Рассуждая по индукции, предположим, что в некоторой окрестности начала существуют локальные координаты такие что

где Произведя, если надо, линейную замену последних координат (как при приведении квадратной формы к диагональному виду в § 5 гл. 2), мы можем считать, что Положим

По теореме об обратной функции гладкая функция в некоторой окрестности начала содержащейся в (Именно здесь лежит основная причина того, что лемма Морса справедлива, вообще говоря, лишь локально.) Перейдем к координатам с помощью замены

которая (снова по теореме об обратной функции) является локальным диффеоморфизмом. Теперь

эта формула в точности подобна формуле с только вместо стоит Тем самым, по индукции, теорема доказана.

Это доказательство следует сравнить с процедурой приведения квадратичной формы к диагональному виду. Назовем функцию вида

морсовским -седлом. Итак, по лемме Морса каждую невырожденную критическую точку можно диффеоморфизмом перевести в морсовское -седло для некоторого I. Если то мы имеем максимум, если минимум. [Некоторые авторы предпочитают писать вместо I, но для приложений удобнее считать, что -седло всегда, независимо от означает минимум, так как часто мы будем отбрасывать большую часть переменных, даже не интересуясь тем,

сколько их. В приложениях гораздо чаще интересуются минимумами и -седлами при малых чем максимумами (n-седлами).

Поскольку морсовское седло, конечно, является изолированной критической точкой, а гладкие замены сохраняют свойство критической точки быть изолированной, все невырожденные критические точки — изолированные.

Число I представляет собой инвариант топологического типа критической точки в следующем смысле: гладкие обратимые замены координат не изменяют

В неморсовской критической точке матрица Гессе вырождается. Мы можем измерить, насколько она вырождается, подсчитав ее коранг (§ 5, гл. 2), так сказать, число независимых направлений, по которым она вырождается. Это число не меняется при гладких обратимых заменах координат, и оно выйдет на первый план в гл. 7 и 8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление