Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1 Критические точки

Пусть гладкая функция. Точка и называется критической точкой для если

или, в координатах,

Значение в критической точке и называется критическим значением

Рис. 4.1

Критические точки — это те точки, где график функции имеет горизонтальную касательную. В случае эти точки традиционным образом классифицируются как (локальные) максимумы, минимумы и точки перегиба (рис. 4.1). Вскоре станет ясно, что требуется более тонкая квалификация. Для т. е. для функций возможностей много больше. Наиболее распространенными случаями являются (локальные) максимумы, минимумы и седла. Соответствующими примерами служат

в начале координат (рис. 4.2). Однако имеется целое множество других, более сложных типов, три из которых, отвечающие функциям

и известные как обезьянье седло, желоб 1 и скрепленные желоба, показаны на рис. 4.3.

Из них обезьянье седло еще не слишком плохо в том смысле, что критическая точка в начале изолирована: в непосредственной близости от нее нет других критических точек. Для двух других начало уже не является изолированной критической точкой: оно лежит соответственно на одной или на двух прямых, состоящих из критических точек. Неизолированные критические точки особенно неприятны, но в некотором достаточно сильном смысле слова они нетипичны (см. гл. 8, § 7), и во многих вопросах их можно игнорировать.

Наиболее важно различение критических точек по следующему принципу. Скажем что имеет в и невырожденную критическую точку, если представляет собой невырожденную квадратичную форму (т. е. ее ранг равен числу переменных Эквивалентные формулировки: матрица Гессе

невырожденна; ее определитель

Например, для матрица Гессе

Рис. 4.2

— невырожденная (с определителем 4), а для

— явным образом вырожденная матрица! В действительности все функции на рис. 4.2 имеют невырожденные критические точки, а на рис. 4.3 — вырожденные критические точки. Из дальнейших наших результатов будет следовать, что невырожденные критические точки изолированы, хотя обратное и не обязательно верно (как показывает пример обезьяньего седла).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление