Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ

Как в физических, так и в математических приложениях важной характеристикой гладкой вещественной функции является наличие у нее „критических точек", в которых производная обращается в нуль. Наиболее распространенные типы критических точек для гладкой функции — это (локальные) максимумы и минимумы. Но иногда встречаются и более сложные вещи — „точки перегиба", а при более пристальном изучении эти три сорта точек подразделяются на целую серию типов. Для двух и более переменных задача существенно осложняется благодаря широкому диапазону новых геометрических возможностей.

Один из главных математических источников теории катастроф — классификация типов критических точек. В данной главе мы начнем изучение этой проблемы, доказав лемму Морса, которая классифицирует „хорошие" критические точки для любого числа переменных, и распространив затем полученную классификацию на „поганые" критические точки для случая одной переменной. Эти два математических побега сразу же принесут нам свои плоды, а позже разовьют столь мощную корневую систему, пронизывающую всю Землю математики, что позволят нам достичь звезд.

Обобщая доказательство леммы Морса, мы получим важную лемму о расщеплении, с помощью которой можно при некоторых обстоятельствах существенно понижать число переменных в рассматриваемой задаче. Как уже отмечалось в предисловии, этот результат кажется некоторым ученым наиболее удивительным во всей теории; однако его доказательство не требует привлечения никаких глубоких методов, развитых для теории катастроф, и является всего лишь упражнением повышенной сложности из элементарного анализа.

Морсовские критические точки обладают важным свойством устойчивости, которое интуитивно можно выразить словами „сохранение типа при малых возмущениях". Это свойство можно трактовать чисто алгебраически, но оно становится яснее, если его переформулировать как некоторое

геометрическое свойство трансверсальности. Это приводит нас к общему обсуждению понятия трансверсальности, которое вводится сначала для векторных пространств, а затем переносится на гладкие многообразия. Мы заканчиваем главу исследованием понятия коразмерности, введенного в гл. 2, и его связи с трансверсальностью.

Тип классификации критических точек, который мы получим в этой главе, мотивирует и освещает большую часть нашего дальнейшего пути. В частности, делается понятной важность разложений Тейлора. Вся вычислительная сторона теории катастроф, которой мы будем заниматься в гл. 8, имеет целью научиться управляться с этими задачами. Ряд примеров настоящей главы показывает, что поведение разложений Тейлора становится гораздо более сложным для функций двух или более переменных — собственно, нас ждут ошарашивающие неожиданности, — и дело отнюдь не сводится к простому обобщению одномерного случая. Понимание этих проблем требует большего, чем знание алгебраического формализма рядов Тейлора, и оно в достаточной степени не связано с вопросами сходимости; ключ к пониманию лежит в геометрической постановке задачи, с использованием соображений трансверсальности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление