Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9 Теорема о неявной функции

Очень близок к теореме об обратной функции результат, называемый теоремой о неявной функции. Он утверждает, что если „плоское" приближение (касательная прямая., плоскость, гиперплоскость) к множеству 5 решений уравнения

служит графиком некоторой функции

то локально и само множество служит графиком некоторой функции. Это верно для конечных размерностей переменных

Рис. 3.10

Например, на рис. 3.10(a) представлен случай, когда

и, значит, есть окружность. Касательная в точке Р является графиком функции, следовательно, графиком является и вблизи Р. А именно, локально служит графиком функции

Касательные в точках (1,0) и не являются графиками; также и 5 не является графиком вблизи этих точек.

Однако, даже если указанное условие не выполнено, все-таки может локально быть графиком. Пусть

Соответствующее множество 5 показано на рис. 3.10(b), оно служит графиком функции Но поскольку касательная вертикальна, оно не является графиком дифференцируемой функции.

Мы можем уточнить: если гладка и упомянутая касательная есть график, то и функция о существовании которой говорит нам теорема о неявной функции, также гладка вблизи соответствующей точки.

На более формальном языке теорема звучит так:

ТЕОРЕМА 3.2 (теорема о неявной функции). Если функция гладка и для точки множество

служит графиком некоторой функции то и

является локально графиком некоторой гладкой функции

Эта теорема служит основанием правила неявного дифференцирования и имеет ключевое значение при рассмотрении всякого рода систем со связями (связь представляется уравнением Она в точности настолько же глубока, как и теорема об обратном отображении, каждая из них является простым следствием другой; какую предпочесть в качестве отправной точки — дело вкуса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление