Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8 Теорема об обратной функции

В последующем мы существенно будем использовать замены координат, и важно ограничить допускаемый тип замен, так чтобы при заменах терялась важная для нас информация. Мы потребуем, чтобы замены были обратимы и гладки (и чтобы обратная замена тоже была гладкой). Специалисты используют в такой ситуации термин диффеоморфизм, и так как он повсеместно встречается в литературе, мы также иногда будем им пользоваться.

Все, что выше говорилось для отображений можно дословно повторить для случая отображений , где — открытое множество в Это позволяет работать локально и избежать некоторых глобальных вопросов. Пусть и V — открытые множества в и пусть причем Функция называется диффеоморфизмом, если

(a) она гладка;

(b) для нее существует обратная функция , т. е.

(c) g гладка.

Например, если — множество вещественных чисел, больших нуля, и

то мы можем положить

Рис. 3.9

и Однако если заменить на то уже не будет диффеоморфизмом, потому что обратное отображение не может быть определено на всём Несколько более тонок случай

Здесь моокно найти обратное отображение:

но оно не гладкое, а именно не существует

Геометрически действие диффеоморфизма состоит в плавном изгибании координат, как показано на рис. 3.9. Таким образом, если гладко и — диффеоморфизм, то композиция получается из некоторой гладкой локальной заменой переменных („локальный" в данном случае означает „внутри U").

Более общо, локальный диффеоморфизм в точке х — это отображение, ограничение которого на некоторое открытое множество, содержащее х, есть диффеоморфизм на его образ. Имеется простой и полезный признак для проверки этого свойства, известный как теорема об обратной функции.

ТЕОРЕМА 3.1 (теорема об обратной функции). Пусть — гладкое отображение и Если линейное отображение невырожденно, то есть локальный диффеоморфизм в х.

Таким образом, мы можем проверить, является ли отображение локальным диффеоморфизмом, вычислив соответствующую производную. Заметим, что невырожденно, если и только если якобиан

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление