Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТЕПЕННЫЕ И ВНЕЗАПНЫЕ

Классическая физика (от Ньютона до общей теории относительности) — это по существу теория плавного поведения; первый приходящий в голову пример — движение планет вокруг Солнца, внушающее трепет своей безостановочностью, неторопливостью и чрезвычайной регулярностью. Даже колебания земной оси, из-за которых пришлось отказаться от вращения Земли как от эталонных часов, и те происходят плавно. В последовательной математической теории небесной механики исключено, скажем, чтобы громадная комета, попавшая некогда в Солнечную систему, выхватила из Земли кусок, проходя мимо нее (теперешнее Красное море), и затем, потеряв большую часть своей кинетической энергии, установилась на почти в точности круговой орбите в качестве планеты Венера (широко распространенная псевдонаучная гипотеза). Планеты слишком плавно взаимодействуют для этого.

1 Катастрофы

Но изменения совершаются и скачками. Вдруг закипает вода. Начинает таять лед. Сотрясаются земли и луны. Рушатся дома. Спина верблюда, как мы знаем, выдерживает груз в соломинок и внезапно ломается под Происходят биржевые крахи.

Эти внезапные изменения вызываются обычно гладкими изменениями ситуации. В астрономии таким событием был бы внезапный (мгновенный или в течение нескольких дней) переход Земли на новую орбиту, десятью миллионами километров шире старой, при прохождении Солнечной системой в ее непрерывном движении в Галактике какого-то критического места. Такого рода изменения гораздо хуже поддаются анализу и предсказанию, чем движение небесных тел, и различные науки (от физики до экономики) еще только накапливают аналитические средства, которые бы им позволили управляться со скачкообразным поведением.

К тому же природа скачков бывает самой различной.

Есть силы, которые постепенно нарастают до тех пор, пока их уже больше не может сдержать трение; рев землетрясения и шорох растущего ревеня производятся перемещениями, которым трение уступает дорогу. Есть критическая плотность популяции, ниже которой особи развиваются как кузнечики, а выше — как саранча; вот почему, если саранча появляется, она появляется тучей. Внезапно изменяет свой репродуктивный ритм клетка и вдруг начинает удваиваться и удваиваться в ритме рака. Человек по дороге в Дамаск 1 имеет видение.

Многое здесь еще не поддается анализу. Многое уже проанализировано, причем применялось великое множество математических методов. В этой книге мы будем иметь дело с одним математическим подходом, в рамки которого единообразно укладывается обширная область явлений такого рода. Методы, которые при этом используются, были развиты французским математиком Ренэ Томом и стали широко известными благодаря его книге „Структурная устойчивость и морфогенез" [1], где они были предложены в качестве математической основы для биологии. Те внезапные изменения, о которых тут идет речь, были окрещены Томом катастрофами, для того чтобы выразить ощущение резкой или драматической перемены. Это слово, к сожалению, несет в своем значении оттенок бедствия, который в большинстве приложений неуместен. Но весь предмет с тех пор получил известность как теория катастроф — словосочетание, представляющее большую свободу толкования, в зависимости от принятой точки зрения.

Эти методы применимы наиболее непосредственно (но совсем не исключительно) к системам, в которых в каждый момент на фоне изменяющейся ситуации минимизируется или максимизируется некоторая функция (например, энергия или энтропия соответственно). В гл. 3 мы поясним, что это означает математически. В настоящую же минуту хорошей картинкой может служить шарик, катящийся по неровной поверхности и „старающийся" при посредстве силы тяжести найти положение, если и не самое низкое из всех возможных, то хотя бы самое низкое из всех других поблизости (а тем временем меняется и сама поверхность). Те специальные геометрические образования, которые возникают при такой постановке задачи, называют, вслед за

Томом, элементарными катастрофами, имея в виду элементы как фундаментальные сущности (подобно химическим элементам); их применением, как оно описано в настоящей книге, занимается элементарная теория катастроф (слова, неправильно понятые Зуссманном и Цалером [1а] в смысле, аналогичном „элементарной арифметике"), хотя все это достаточно глубоко и математически и философски. Для некоторых систем могут происходить более сложные вещи (один легко объясняемый пример мы приводим в, § 7 гл. 17), которые Том [1] классифицирует огулом как обобщенные катастрофы. Их теория никоим образом не является столь же полной.

Для понимания теории катастроф важна физическая интуиция. Мы опишем в этой главе три простые физические модели, демонстрирующие типичные черты катастрофического поведения и имеющие то достоинство, что (в отличие от землетрясений и биржевых крахов) они достаточно просты, чтобы их можно было самому изготовить, и достаточно невелики, чтобы их можно было носить с собой. К тому же их можно использовать для экспериментов. Хотя они легко поддаются анализу, мы не будем пока этим заниматься. Мы постоянно будем обращаться к ним как к примерам, и читатель существенно укрепит свою интуицию, если он сам изготовит эти модели (мы дадим для этого ряд советов) и поиграет с ними; никакое описание не заменит живого эксперимента. Следует, однако, подчеркнуть, что отношение этих машинок к теории катастроф аналогично отношению известных „игрушек" — ньютонова ведра и простого маятника — к ньютоновой механике.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление