Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дополнение 2. Катастрофы в численном анализе

Требуя новых численных методов, теория катастроф может в то же время помочь понять старые методы; на самом деле эти два аспекта — две стороны одной медали. С помощью каспоидных катастроф можно исследовать явления неустойчивости для решений полиномиальных уравнений. Эктон [211], стр. 201, приводит принадлежащий Уилкинсону [212] пример многочлена

корнями которого служат Добавляя к коэффициенту при мы получим распределение корней в комплексной плоскости, показанное на рис. Д2.1. Серьезные изменения произошли с корнями от —9 до —20; десять из них стали комплексными с большими мнимыми частями. Хорошо известно, что неустойчивость такого рода присуща вырожденным многочленам — многочленам с кратными корнями. Но относительно Эктон [211] замечает: „Вряд ли корни могли бы быть изолированными в большей степени". Откуда же возникает эта неустойчивость? Снова процитируем Эктона [211]:

„Этот пример поистине ужасает. Ибо если мы увидели одного тигра, то не кишат ли все джунгли тиграми, и кто знает, где притаился следующий? Уилкинсон показывает, что эта трудность вызвана правильным расположением корней..."

Рис. Д2.1

Рис. Д2.2

Рис. Д2.3

Геометрия каспоидов помогает приручить тигров. Действительно, при варьировании коэффициентов решения полиномиального уравнения

определяют многообразие каспоидной катастрофы типа с управляющими переменными (из которых можно сделать немым при помощи преобразования Чирнхауза и поведенческой переменной х. Приведенный выше многочлен которого все 20 корней вещественны, помещается над той частью бифуркационного множества, где все корни вещественны, — над самым внутренним „карманом" каспоида. Рисунок взятый у Вудкока и Постона [20], иллюстрирует на примере тот факт, что этот карман оказывается в типичном случае очень малым; из других картинок в той же книжке видно, что этот карман также и очень непрочный и имеет тенденцию совсем пропадать при изменении управляющих параметров. Значит, малое возмущение какого-либо коэффициента вполне может вывести из этой области, при этом некоторые вещественные корни станут комплексными. Когда два вещественных корня сходятся и образуют комплексно-сопряженную пару, по меньшей мере один из них должен пройти больше половины начального расстояния между ними, поэтому можно ожидать, что смещения корней будут такого порядка величины. Область, где все корни вещественны, быстро уменьшается с ростом так что многочлены высоких степеней оказываются особенно чувствительными (если у них все корни вещественны). Но малость этой области означает, что и самих таких многочленов немного. (Аналогичные замечания относятся и к высшим катастрофам от нескольких существенных переменных.)

С другой стороны, мы можем заметить, что о корнях никак нельзя сказать, что „они“ вряд ли могли бы быть изолированными в большей степени. В сравнении с размерами коэффициентов они чрезвычайно сильно скучены: все двадцать корней зажаты в интервале длины 19, а коэффициенты размахнулись до Поэтому в подходящем масштабе график выглядит, примерно как график на рис. Д2.3(а), с очень плоским „дном", и почти столь же вырожден, как и многочлен вырожденность которого максимальна. Ничтожные возмущения (особенно коэффициентов при высоких степенях) могут поднять один конец графика, как на рис. Д2.3(Ь), лишив многочлен вещественных корней и, следовательно, сдвинув их на заметное расстояние в комплексной плоскости.

Таким образом, не регулярное расположение корней, а

их скученность вызывает все неприятности. Любой сомневающийся специалист по численному анализу пусть проведет такой эксперимент: разместить 20 точек 0г случайным образом на интервале между — Тогда многочлен

проявит в точности такую же крайнюю чувствительность, как и Мы должны опасаться не страшной симметрии тигра, а его пристрастия к добыче, собирающейся в стада. (Все многочлены, встречающиеся при переходе от к рис. Д2.1, столь же неустойчивы, как и но расположение их корней гораздо менее регулярно. И хотя вещественность всех корней приводит к их скучиванию, эта вещественность тоже не является необходимым условием повышенной чувствительности, по той же самой причине.) Тем не менее симметрия на самом деле страшна, но не из-за того что вызывает к жизни тигров такого рода, а из-за того что делает действительную вырожденность более широко распространенной, чем это могло бы быть, как мы в этом убедились в § 13 гл. 13.

Анализируя геометрию каспоидов, можно было бы получить количественные оценки того, насколько малы указанные „малые" области — бесспорно, важное дело — или насколько „близок" многочлен к вырожденности. Но даже и без этого мы уже гораздо лучше чувствуем опасные места. Джунгли больше не полны тиграми. Тигры обитают лишь в узких областях вблизи бифуркационного множества соответствующего каспоида и могут быть обнаружены по относительно большой скученности корней (эта черта сохраняется при возмущениях и потому может устойчиво использоваться в качестве критерия). Но если уж тигр обнаружен, то лучшее, что мы можем сделать, это обращаться с ним поосторожнее — проводить вычисления с более высокой точностью. Если мы обнаружили его в спроектированной системе, то такая же высокая точность должна быть соблюдена и при исполнении проекта, если мы хотим, чтобы вычисления имели к нему отношение. Численная неустойчивость является показателем либо того, что Эктон [211] метко назвал „извращенными формулировками", либо же структурной неустойчивости системы. В таком случае абсолютно необходимы либо изменения в описании проблемы, либо тщательный анализ чувствительности к несовершенствам (см. гл. 13). Слепое переписывание неустойчивой программы в варианте с тридцатью десятичными знаками для всех переменных — это дорогой рецепт для, весьма возможно, реальной катастрофы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление