Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

18. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ. ЧТО ДАЛЬШЕ?

1. Нынешнее состояние

Теория катастроф уже начинает исчезать. То есть „теория катастроф" как связная система знаний с группой взаимно известных друг другу специалистов, работающих над ее проблемами, ускользает в прошлое, по мере того как ее методы более прочно входят в сознание научной общественности. „Строго чистые" математики из тех, кто нашел и доказал главные теоремы этого предмета, остались „чистыми", перейдя в другие области, ближние или дальние, где еще нужно решать математические задачи. Имеется много областей для дальнейшей работы с ориентацией на приложения; сюда относятся „эквивариантные" катастрофы (катастрофы с симметриями), связь между дифференцируемой и топологической эквивалентностями, использование бесконечномерных пространств состояний и многочисленные варианты элементарных катастроф, таких как катастрофы во времени Вассермана [112] и катастрофы с ограничениями, упомянутые в гл. 16. Это лишь то, что наиболее тесно связано с элементарными катастрофами; но и вся область динамических систем и теории бифуркаций получает все возрастающее внимание. Потенциальные возможности для союза между мощными топологическими методами математиков и мощными численными методами (такими как метод конечных элементов), используемыми исследователями-практиками, огромны.

Те, кто остается привязанным к самой теории катастроф, работают над проблемами соотношения ее теорем и природы реального мира. Самостоятельно или все чаще в сотрудничестве со специалистами по вещам (волнам, взяткам, эмбрионам и т. д.) они прикладывают математику. (Мы сознательно не хотим говорить, что они занимаются „прикладной математикой", так как по злой шутке британской академической истории чрезвычайно много из того, что шло под этим именем, не было ни математикой с какой-либо концептуальной целостностью, ни приложением к чему-либо

практически важному или к области, где можно было бы экспериментально проверить, верно оно или неверно. Это не только наше собственное мнение — оно в развернутой форме высказывается в отчете Королевского общества „Подготовка аспирантов в Соединенном Королевстве. 4. Прикладная математика".) Вторая половина нашей книги позволяет состгвить некоторое представление о распространенности этих приложений; значительно более полное представление об этом дает библиография. Даже составление такой библиографии теперь дело очень сложное, соответствующие работы рассеяны по самым разным изданиям — от журналов по физической химии до журналов по градостроительству. Через несколько лет это уже станет не только невозможным, но и бесцельным упражнением. Некоторое время после Ньютона и Лейбница можно было перечислить все работы по дифференциальному исчислению; еще некоторое время спустя можно было составить список всех оригинальных и главных обзорных трудов; но кто попытался бы сделать это сегодня? Идеи и методы дифференциального исчисления теперь входят в научный багаж почти каждого ученого, достойного такого наименования. То же произошло и с теорией вероятности, вариационными методами, теорией бесконечномерных векторных пространств и всеми другими ветвями математики, которые пополнили инструментарий работающего ученого.

Теорию катастроф, хотя и стоящую в некотором смысле за пределами анализа (благодаря ее топологической окраске), тем не менее лучше всего рассматривать как новое направление в рамках анализа. С нашей точки зрения, часто повторяемое утверждение, что, мол, „не нужно понимать математику, стоящую за теорией катастроф, чтобы иметь возможность применять ее“, вводит в заблуждение. Тот, кто хоть как-то не чувствует этой математики (а математические главы этой книги составляют абсолютный минимум), не будет защищен в своих приложениях от серьезных ошибок. (То же самое верно, для случая приложений, и в отношении предмета, к которому прикладывается математика; вот почему теория катастроф все в большей степени становится командным видом спорта.)

Одна из наиболее привлекательных черт этого предмета для математика — то, что он одновременно объясняет и проливает новый свет на постоянное появление некоторых математических структур в самых разных областях науки. Но это обстоятельство не интересует и не будет интересовать большинство ученых, которые обычно удовлетворяются тем, что называют математический результат по имени

того, кто первый заметил его в их собственной области. Присутствие его под другими именами в других областях, будь он там открыт раньше или позже, не играет никакой роли. А общие структуры волнуют их еще менее, чем общие теоремы. Таким образом, та черта теории катастроф, которая, возможно, представляет наибольший интерес для неспециалиста, — ее объединяющая мощь — специалиста интересует гораздо меньше. Например, сборка — простейшая «интересная» катастрофа — имеет бесчисленные имена в бесчисленных областях, она вездесуща, как оно и должно быть, согласно результатам гл. 7. В каждой давно существующей области науки она была более или менее полно проанализирована, причем почти всегда способом, приспособленным для данной конкретной цели. Именно потому, что это одна из простейших катастроф, исследования, проводимого голыми руками, как в гл. 5, достаточно, чтобы ответить на любой вопрос о ее геометрии. Такие исследования проводились все снова и снова и снова, к полному удовлетворению тех, кто имел к этому отношение. С другой стороны, такие факты, как структурная устойчивость сборки, не могут быть установлены элементарными методами. Но мало людей склонны волноваться из-за вопросов — как бы они ни были уместны, — которые они не сами задают. Большинство ученых утверждают, что им нужны только числа.

Теория катастроф, как и вообще анализ, дает числа. Она также дает ответы на топологические вопросы, а поскольку ее изобрели и впервые проповедовали топологи, именно на эти ответы и был сделан акцент. Отсюда миф, получивший вскоре хождение и все еще широко распространенный, что она является „чисто качественной". Как только она была понята учеными, которые мыслили в физических числах, вводили в нее физические числа и задавали ей численные вопросы, теория катастроф начала доставлять численные ответы. Эти ответы, нужно сказать, основаны на математических описаниях, принятых в данный момент учеными; это замечание иногда интерпретируется (см., например, Кролл [116]) как то, что „теория катастроф ни о чем не дает новой информации". Это просто выражение общей точки зрения на математику в целом как на „тавтологичную", нуждающуюся в гипотезах, чтобы производить заключения. Никакая математическая теорема никогда не дает „информации" в смысле теории информации — информации о том, что нечто, не обязательно верное, оказалось верным в данном случае, — лишь эксперимент может это сделать. Во всякой научной теории „информация" лежит

в ее гипотезах о том, что имеет место, и все ее предсказания содержатся тут. Как замечалось много раз на протяжении столетий в опровержение возражений „нет содержания» по отношению к математическим переформулировкам, вся проблема заключается в извлечении информации И здесь теория катастроф служит мощным новым оружием — как показывает вторая половина этой книги. Она не замещает прежние методы, а дополняет их. Мы дали этому много примеров, включая численные ответы на численные вопросы. Надеемся, что наша книга содействует получению многих новых ответов, равно как постановке вопросов нового рода, которые, кажется нам, будут в такой же мере физическими (или химическими, или биологическими, или...).

2. Будущее

В ближайшее время, по-видимому, „жесткие" науки — физика, химия, технические дисциплины — извлекут наибольшую пользу из теории катастроф, которая в соединении с современными методами и теориями послужит средством для раскрытия новых следствий из математических моделей, для которых разумные гипотезы уже установлены, а выводы из них все еще исследуются. Примерами служат гл. 10— 15. („Всякому имеющему дано будет.") Устойчиво нелинейный характер поведения катастрофических явлений, которого не может изменить никакая перепараметризация или малая подгонка, указывает на абсурдность таких упрощающих предположений, как линейность или выпуклость, используемых в большинстве социологических моделей, — но в то же время часто (§ 3 гл. 17) увеличивает требования к данным даже сверх недостижимых в настоящее время требований нынешних невероятно простых моделей. („А у неимеющего отнимется и то, что имеет".)

Если говорить о более отдаленном времени, то пропорции, вероятно, изменятся. В области биологии мы сталкиваемся с теми же трудностями организованной сложности, что и в социологических науках, но жесткие данные и воспроизводимые эксперименты здесь доступны. Подлинные триумфы молекулярной биологии постепенно перестают заслонять тот факт, что знание аксиом даже простой системы не влечет за собой понимания ее поведения. (Биохимия, конечно, принадлежит к числу „жестких наук", упомянутых

выше, и поскольку столь много реакций управляется минимизацией свободной энергии, этот предмет будет обогащен новыми вычислительными методами и геометрией, как только относящиеся к делу математические и химические знания соединятся в нужных лицах или командах. Но не об этом сейчас речь.) Статистическая механика, например, не пытается анализировать глобальное поведение неорганизованной массы простых молекул, вводя в модель изученные во всех подробностях свойства, скажем, двуокиси углерода. Вместо этого в ней рассматриваются „абсолютно упругие шарики" и т. п. В живых системах мы имеем дело с организованной сложностью и с самыми разнообразными молекулами, индивидуальная сложность которых оказывается решающей для тонкого поведения системы. Можно ли рассчитывать вывести на основе лишь полного молекулярного описания ребенка, что нормальный срок человеческой жизни длится семьдесят лет? Что через несколько десятков лет вылезут зубы мудрости? Наука должна работать со многими описаниями на многих уровнях, причем крупномасштабные модели могут иногда явным образом противоречить тому, что известно о явлениях меньшего масштаба (как мы уже говорили это в связи с обсуждением динамики жидкости в § 1 гл. 11). В противоположном направлении: в большинстве квантовомеханических вычислений, относящихся к твердым телам или жидкостям, принимаются допущения об одновременности, которые теми, кто их принимает, считаются неверными! Релятивистской квантовой химии не видно даже в перспективе.

Вероятно, биология станет в течение ближайших десятилетий полигоном для математических методов моделирования агрегированного поведения систем, имеющих в своей основе организованную сложность. В этих исследованиях теория катастроф будет играть ведущую роль; все же мы с самого начала можем быть уверены, что ею одной не обойтись; не обойтись даже и теорией динамических систем, частью которой она является. Всё же бифуркация вещественнозначных функций описывает простейшие виды существенно нелинейного поведения. Как показывают гл. 10—18, многие явления сводятся, строго или эвристически, к такому описанию, но не дальше — без потери чего-нибудь важного для понимания явления. Проникновение в суть соображений, намеченных в гл. 7, и разбор достаточного числа примеров убеждают, что понимание природы элементарных катастроф будет существенным знанием в математизации биологии.

И недостатка в таком знании не будет. Если бы теория

катастроф имела отношение лишь к биологии, то отсутствие ярких применений в течение ряда лет привело бы к потере лица, благоприятный момент был бы упущен, и она могла бы быть просто забыта. Но в жестких науках теория катастроф во всевозрастающей степени будет усваиваться как общеизвестное исчисление. Применение правил конечной определенности станет столь же обычным делом, каким является сейчас применение их частного случая — того факта, что положительная определенность матрицы Гессе влечет минимум. Когда этот комплекс результатов и точек зрения столь же прочно утвердится в научном мышлении, как привычка писать дифференциальные уравнения, не будет нехватки в специальных знаниях в многочисленных вариантах того, во что разовьется „теория катастроф". Совершенно независимо от успеха или неудачи теперешних многообещающих попыток, таких как исследования Зимана [157] и Кука в эмбриологии, биология не в большей степени забудет о теории катастроф, чем она забудет о математическом анализе.

Более общим образом, мы можем предсказать, что в будущем проблемы, поставленные биологией, ныне лишь находящиеся на трудном пути к точной постановке, окажут влияние на основной поток математического развития, как это было в прошлом с физикой. По мере того как методы, пригодные для изучения организованной сложности, будут развиваться в этой лабораторной науке, социологические науки будут получать пропорциональный выигрыш. Новые понятия — сливаясь с современным пониманием мира, изменяя и дополняя его — могут привести к определению и измерению величин, более важных для „здорового общества", чем „жизненный уровень", включающий в себя бесполезные выбрасываемые упаковки или „общий национальный продукт", включающий в себя машины, производительность которых выражается в мегасмертях. При том отсутствии искусства общения, в условиях которого мы живем, все предсказания о будущем нашей научной культуры (если не всего рода человеческого) сводятся к одному отрицанию. Если какие-либо математические методы вообще могут помочь росту такого искусства, теория катастроф будет их частью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление