Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 За пределами элементарной теории катастроф

Не все динамические явления приводятся в действие максимизацией или минимизацией некоторого потенциала, с соответствующей геометрией катастроф при изменениях этого потенциала. Многие явления, для которых это не так, могут быть связаны с теорией катастроф менее прямыми способами: при помощи построения функций Ляпунова, как для уравнения Дуффинга (Холмз и Рэнд [202]); при помощи

Рис. 17.17

Рис. 17.18

вариационных принципов, как в оптике (гл. 12); при помощи функций тока (гл. 11) и т. д. Теория катастроф (в том смысле, в котором мы употребляли эти слова) применима не универсально, но часто слышимое утверждение, что „она применима лишь к градиентным системам это просто результат недопонимания, вызванного ограниченностью ее первых применений.

Однако, с другой стороны, мы не желаем оставлять у читателя впечатление, что всюду, где игра называется оптимизацией, теорию катастроф можно применять некритически. Стоит проиллюстрировать это следующим примером, где два игрока пытаются оптимизировать ситуацию, каждый со своей точки зрения.

Если вы начнете выпускать книги, когда никто еще этим не занимается, вы не сумеете продать их много. У населения не будет привычки покупать книги, и не будет также никакой индустрии их распространения, которая могла бы доставить вашу продукцию в Халл и Галифакс. С другой стороны, если другие производители выпускают книги в огромных количествах, то ваши книги затеряются среди множества других, и вы опять же продадите немного. Ваша торговля пойдет лучше всего, если вклад других будет существовать, но будет умеренным. Наиболее выгодно, разумеется, печатать ровно столько, сколько вы сможете продать.

Это описание, конечно, переупрощено, но поскольку мы хотим показать, какое сложное поведение может быть следствием простых допущений, это не испортит рассуждения; реалистичное усложнение допущений приведет к дальнейшему усложнению поведения. (Здесь надо различать два случая. В неорганизованной сложности совокупностей „простых“ систем, изучаемых в физике (каковой является, скажем, сплошная среда), сложности, которые реально проявляются у компонентов, часто даже упрощаются статистически для достаточно крупных совокупностей. Но в высокоструктурированной, организованной сложности экономики или мозга осложнения на каждом уровне часто соединяются — а не уничтожаются осреднением — на следующем уровне.) В действительности мы еще упростим дело, взяв случай двух в точности идентичных производителей. Допустим, что когда один из них производит Р единиц товара, оптимальная продукция для другого выражается функцией

Рис. 17.19

график которой представлен на рис. 17.19. Модель такого рода известна как диполия Курно, она восходит к 1843 г. (Курно [203], Вальд 1204]). Допустим, далее, что каждый производитель исходит из того, что Том называет strategie myope: на каждый очередной год он принимает, что другой производитель произведет столько же, сколько в предыдущем, и соответственно планирует свое собственное производство. Таким образом, он планирует на будущий год то, что было бы оптимальным для него в прошедшем году. Это описание удручающе хорошо подходит к стратегии многих экономических агентов (например, фермеров), поведение которых усиленно изучалось, равно как и к экономическому мышлению многих политиков. (Близорукость здесь предположена лишь из-за краткости ее описания, она не является необходимым условием дикого поведения, с которым мы встретимся ниже. Модели с более „просвещенными“ стратегиями также могут кусаться.)

Обозначим продукцию одного производителя через другого — через Типичные изменения пары от данного года к следующему показаны на рис. 17.20. Штриховые стрелки изображают сдвиги, которые предпринимают производители (осуществляя оптимизацию согласно функции в допущении что продукция второго не меняется). Сплошные стрелки показывают результирующее изменение пары.

Можно было бы думать, что это приведет к постоянному масштабу производства для каждого агента или хотя бы к регулярному циклу. Однако для типичной последовательности сдвигов, показанной на рис. 17.21, не видно никаких очевидных закономерностей. Мы наблюдаем здесь то, что в математической экологии известно после статьи Ли и Йорка [206] как хаос. Отсутствие очевидных закономерностей было доведено во многих примерах такого рода до математических доказательств невозможности отличить с помощью какой-либо статистической методики поведение этих заведомо детерминистских систем от поведения чисто случайных систем. (По поводу общего обсуждения этих вопросов см. Гукенхаймер [207] и Гукенхаймер, Остер и Ипакчи [208]). Все характеристики „статистического поведения, вроде закона больших чисел, прекрасно могут удовлетворяться для простых детерминистских моделей такого рода. (Таким образом, поведение цен на фондовой

Рис. 17.20

Рис. 17.21

Рис. 17.22

бирже, превосходно укладывающееся в модель «случайного блуждания», при котором предыдущее движение не имеет никакой предсказательной силы для будущего, равным образом могло бы моделироваться детерминистской системой, демонстрирующей хаос.) Для рассматриваемого нами случая Рэнд [209] непосредственно доказал, что хотя регулярные циклы всех возможных периодов лет) и существуют, но все они неустойчивы: отклонитесь от одного из них на волос, и вместо того чтобы продолжать приблизительно следовать за ним, система быстро отойдет от него прочь, и цикл станет бесполезным даже как аппроксимация. Приближенное знание настоящей ситуации, сколь бы точным оно ни было, бесполезно для долговременных предсказаний — произвольно близкие точки имеют совсем разное будущее. Типичное поведение — это на самом деле поведение типа хаоса, изображенного на рис. 17.21.

Это экзотическое поведение не является следствием специального вида функции скажем ее кусочной линейности или того, что у нее острый пик посередине. Рэнд [209] показал, что поведение с гладкой функцией типа изображенной на рис. 17.22 описать еще труднее и что сложность его вполне устойчива при малых возмущениях (Здесь речь идет о двух разных устойчивостях, и их не следует смешивать: резкие неустойчивости внутри системы с заданной сохраняются устойчиво при небольших изменениях

Еще более сложного поведения можно ожидать от моделей со многими экономическими структурами, достаточно разработанных, чтобы даже отражать реальность. Недавно Смейл [210] доказал, что системы, изучавшиеся в экологии и в «общей теории равновесия» математической экономики, не образуют специальный „ручной" класс, как это свободно допускалось. Абсолютно все типы хаотического поведения — „странные аттракторы" (Гукенхаймер, Остер и Ипакчи [208]), „омега-взрывы" и прочие причудливые создания, с которыми имеют дело маги современной теории динамических систем, — могут устойчивым образом встречаться в этом классе моделей. (При более общем толковании термина „катастрофа", как его понимает Том, принимаются в расчет и эти явления — но зато отсутствует общая теория, и практическое преимущество поэтому невелико; вклад в философию, возможно, больше.) Когда это будет понято достаточно широко для того, чтобы специалисты по прикладной математической экономике не считали эти явления огрехами программ и не узодили свои параметры или модели прочь от реальности, чтобы устранить их, станут обычными также

и явные примеры с детализированными моделями, „взятыми из жизни“. Пока же все это слишком непопулярно среди лиц, отпускающих средства на крупные исследования с помощью вычислительных машин в экономике.

Таким образом, тот факт, что система состоит из подсистем, стремящихся к максимизации некоторой простой функции, сам по себе еще не означает, что к ней применима математика, описанная в этой книге, — надо, чтобы такое оптимальное поведение действительно достигалось в течение большей части времени. Часто это будет не так, и нам потребуются более мощные средства анализа, даже для теоретических нужд. Разработка адекватной математики для планирования при наличии таких явлений — еще более далекая цель.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление