Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Ряд Тейлора

Одна из стандартных математических процедур состоит в том, что берут гладкую функцию и разлагают ее в ряд Тейлора

в данной точке По традиции представление этим рядом считается полезным только в случае, когда он сходится в некоторой окрестности точки и сумма его там равна

Рис. 3.7. Ряд последовательных струй функции sin (х). (Машинные графики любезно предоставлены X. Р. П. Фергусоном из Университета Бригэма Янга (BYU.), Прово, Юта.)

В этом случае функция называется аналитической в Ряд можно тогда почленно дифференцировать в некоторой (возможно, меньшей) окрестности V точки и отсюда вытекает, что его коэффициенты задаются формулой

Даже если и не является аналитической, эту формулу можно использовать для задания формального ряда Тейлора функции но, конечно, у нас больше нет гарантии сходимости полученного ряда, а если он и сходится, то нельзя быть уверенным, что к

К примеру, функция аналитична, и ее ряд Тейлора в начале, как хорошо известно, выглядит так:

На рис. 3.7 показаны графики полиномиальных функций, которые получаются, если ограничиться первыми членами ряда, для Из этого рисунка отчетливо виден характер сходимости ряда Тейлора. Даже при очень большом числе членов приближение очень плохо вдали от начала; с другой стороны, вблизи начала приближение очень хорошее. С ростом числа членов увеличивается и точность приближения, и интервал, на котором эта точность достигается.

Не всегда ясно осознается то обстоятельство, что для гладких функций ряд Тейлора может расходиться или

может сходиться, но не к той сумме. Например, положим при

(см. рис. 3.8). Легко проверяется, что для всех

откуда следует, что функция гладкая (иными словами, склеивание по значению 0 в начале не нарушает гладкости, поскольку функция очень „плоская" вблизи начала). Но

для всех и ряд Тейлора для в начале имеет вид

Он, конечно, сходится, но не к

Одна теорема Бореля (см. Брёкер и Ландер [9], стр. 44) показывает, что дело может обстоять еще хуже. Именно, для любой последовательности вещественных чисел можно построить гладкую функцию для которой рядом Тейлора в нуле служит

Нетрудно выбрать так, чтобы этот ряд расходился для всех например, годится

В прикладной математике или в физике ряды Тейлора обычно использовались для получения приближений к и неудивительно, что особое значение придавалось аналитичности.

В действительности аналитичность не является ни необходимой, ни достаточной для справедливости таких приближений, если иметь в виду те приложения, ради которых они используются. Аналитичность была переоценена, и обращению в нуль остаточного члена

в пределе при к, стремящемся к уделяли чересчур много внимания; по остроумному выражению Зимана, было дозволено, чтобы хвост (ряда Тейлора) вилял собакой.

Рис. 3.8

Например, выписанный нами выше ряд Тейлора хотя он и не сходится к прекрасно приближает эту функцию в начале с качественной точки зрения. Он четко улавливает то, что очень плоская в нуле. Чего он не улавливает, так это того, что начало есть локальный минимум для действительно, функция имеет в 0 тот же самый ряд Тейлора, но локальный максимум.

Для любой гладкой функции мы определяем ее ряд Тейлора в начале как формальный степенной ряд

Ограничиваясь членами степени не выше мы получаем k-струю

(При строгом изложении теории это название закрепляется за несколько более абстрактным понятием, которое определяется бескоординатным образом и для которого введенное нами понятие служит координатным выражением. Это вносит гармонию строгости в мелодическую игру координат, которой занимается теория, но поскольку мы опускаем все более или менее глубокие доказательства, можно не гнаться за полной строгостью.)

Эти усеченные ряды представляют собой многочлены, задающие вполне „добропорядочные" полиномиальные функции

независимо от того, сходится или не сходится ряд Тейлора. Далее, они содержат определенную информацию об Будем говорить, что функция имеет в начале порядок если

(Условимся отдельно, что константы имеют порядок нуль.) Символ который следует отличать от всюду в дальнейшем означает „некоторая функция порядка

Ясно, что - это единственный многочлен степени для которого имеет порядок Другими словами, производные в совпадают для Тем самым ряд Тейлора и его усечения оказываются удобным формальным средством для получения

информации о производных функции , значит, о ее форме вблизи начала. Иной раз нам придется изучать вблизи точки тогда мы будем писать для -струи f в y, т. е. -струи функции

Заметим, что для многочлена порядок — это наинизшая степень, с которой в него входят переменные, а степень — наивысшая.

Более общим образом, ряд Тейлора можно определить для любой гладкой функции . В бескоординатной форме он записывается так:

члене x появляется раз. Для аналитической функции этот ряд сходится к в некоторой окрестности

Переключимся теперь на координатный язык и ради простоты положим (единственный нужный нам случай), так что Тогда

член ряда Тейлора имеет вид

здесь сумма берется по всем последовательностям таким что для каждого Например, если , то начальные члены ряда Тейлора таковы:

Струи получаются, как и выше, усечением ряда, и их частные производные совпадают с частными производными . „Хвост" ряда Тейлора имеет в начале нулевые производные вплоть до порядка. Мы так часто будем обращаться к этому выражению, что введем для него сокращенное обозначение „тейл“.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление