Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Катастрофы как модели

Для описанной выше археологической модели не требуется теория катастроф (в том смысле, в каком она требуется для изучения течений в шестивалковой мельнице из гл. 11), во всяком случае эта модель нуждается в ней не в большей степени, чем сборка ван дер Ваальса (гл. 14). Она может быть выведена и объяснена, устоит или падёт и без этой теории. Теория катастроф просто показывает ее естественность и гарантирует, что две относящиеся сюда катастрофы (складка и еще одна катастрофа с ограничением) являются структурно устойчивыми и типичными явлениями при данном числе измерений модели. Эта модель заставляет предположить, что много катастроф будет обнаружено в математической экономике, как только эта наука откажется от своего пристрастия к таинственным гипотезам, подразумевающим существование единственного оптимума, к которому всех нас ведет „невидимая рука рынка", и обратится к множественным оптимумам, встречаемым на рыночной площади.

Однако много ли можно вывести непосредственно из самой теории катастроф? Приняв определенную точку зрения на то, какого рода переменные описывают систему в целом (или, допустим, остановившись на точках зрения организаторов переписей 1950, 1960 и 1970 гг., поскольку мы не можем вернуться в эти годы с другими вопросами), много

ли мы можем сказать о том, каким типичным геометриям будут подчиняться имеющиеся данные? Идея здесь такая: предположить, что точка, изображающая состояние системы, обычно находится вблизи многообразия катастрофы, и дальше рассуждать, исходя из соображений типичности.

Иногда раздаютея голоса, возражающие против этой процедуры, поскольку природа силы, удерживающей точку на многообразии катастрофы (потенциал, функция Ляпунова и т. д.), не определена; это те же голоса, mutatis mutandis, что возражали против необъясненных сил, действующих на расстоянии, в ньютоновой модели тяготения. Вполне законно будет сказать вместе с Ньютонсм: „Hypothesis non fingo", и приступить к проверке модели. Можно по-прежнему надеяться на улучшенную теорию, которая даст более подробные объяснения действующим силам, как это сделала общая теория относительности для силы тяготения, но требовать этого неоправданно. (Никто не спрашивает, какой потенциал удерживает общественные системы на плоскостях и гиперплоскостях, столь прилежно изыскиваемых современной численной социологией. Точно также нам не нужно было в гл. 11 заниматься обсуждением динамики при рассмотрении блистательно успешного приложения к исследованию течений в полимерных растворах.) Чтобы проверить модель, мы должны, как делал Ньютон, получить предсказания с помощью отвечающей ей геометрии и сравнить их с данными наблюдений. Какие же проверяемые предсказания можем мы получить из сделанного общего допущения в нашем случае?

Ответ зависит, причем довольно сложно, от числа относящихся к делу измерений. Если мы можем разумно определить внешних переменных (таких как положение в пространстве и времени), где достаточно мало, и указать внутренних переменных (безразлично сколько), по которым проводится экстремизация, то дело обстоит хорошо. (Необходимо, чтобы мы могли считать, что система обычно находится в состоянии, являющемся локально экстремальным по всем направлениям.) В типичном случае, если исключить симметрии и пр., локальное поведение этих переменных будет соответствовать списку катастроф, встречаемых при не более чем параметрах управления. (Если некоторые из внутренних переменных ограничены посредством неравенств, то этот список должен включать в себя катастрофы с ограничениями из §§ 6 и 7 гл. 16.)

Рис. 17.2

Более того, для катастрофы коранга почти любые переменных годятся для полного описания, поскольку лемма о расщеплении (гл. 6) гарантирует, что указанное поведение полностью описывается некоторым -мерным многообразием С в гладко изменяющимся при изменении внешних параметров. Например, если то С—кривая; как видно из рис. 17.2, каждая из переменных х, у дает вполне пригодную параметризацию С. Беря вместо получаем, что в типичном случае каждая из переменных дает пригодную параметризацию. Всё это верно независимо от которое может быть любым конечным числом, сколь угодно большим.

Таково, например, положение дел в области экологических приложений, обсуждавшихся в §§ 8-12 гл. 16, которое представляется сейчас, когда мы сдаем книгу в печать, очень многообещающим в экспериментальном отношении. Размерность в рассматриваемых здесь вопросах разумно принять равной двум — одна для пространства, одна для времени, — и полученные до сих пор данные хорошо укладываются в типичные предсказания для Неформальные соображения типичности, на которых основаны теории фазовых переходов — как теория Ландау, так и ренормализационная теория (см. §§ 7 и 12 гл. безусловно, чрезвычайно плодотворны.

Однако, что, если велико? В макроэкономике это, бесспорно, так; например, мировая экономика зависит от урожая, а стало быть, от погоды во многих различных местах. Погода пока еще не выбирается из соображений максимизации полезности и, следовательно, должна рассматриваться как внешняя переменная для экономики. (В метеорологии она является внутренней переменной по определению, но динамика здесь во всяком случае более общая, чем динамика градиентных систем, и, вероятно, „хаотическая" в смысле, поясняемом ниже в § 7.) Читатель, несомненно, может увеличивать число таких внешних факторов для любой данной макроэкономической задачи быстрее, чем успевать их записывать. Возникающие отсюда трудности можно прекрасно проиллюстрировать на примере катастрофы складки, поэтому допустим на минуту, что ничего более сложного не происходит.

На рис. 17.3 показано двумерное управление переменной х посредством динамики катастрофы. Предположим, что в точке О мы имеем потенциал

Рис. 17.3

Тогда в типичном случае (в силу соображений трансверсальности и теорем гл. 8) через О пройдет кривая складок. Любая из осей указанных на рисунке, будет трансверсальна к ней, и поэтому любая из них может служить в качестве той единственной переменной деформации, которая нужна в точке складки. И однако...

Мы уже видели, что на рис. 17.2 почти любая внутренняя переменная годится для маркировки поведения, придерживающегося кривой С; мы могли бы использовать любую из переменных х, у и забыть о другой. Говоря более формально, почти любая проекция на подпространство поведенческих переменных сохраняет структуру катастрофы коранга . Для переменных деформации глубокие теоремы гарантируют существование проекции на подпространство всего лишь нескольких таких переменных, которая сохраняет структуру катастрофы; на этот раз важно то, что почти все другие проекции уничтожают ее. Рисунок 17.4 показывает, что получается, если выбрать в качестве управляющей переменной Р, а тот факт, что может меняться, просто забыть. Кривые на рис. 17.3 проектируются при этом, как изображено на рис. 17.4. Точки, которые представляют „совершенные" данные, лежащие точно на поверхности катастрофы, никак не выявляют на рис. 17.4 геометрию складки. Чтобы как следует выявить складку, нам нужно найти правильную проекцию на ось Р, параллельную линии складок; это очень редко означает простое отбрасывание переменных. Как правило, она не будет даже линейной, но уже для того только, чтобы определить ее линейную часть, нужно чисел. Проекция на две переменные, необходимая для сборки, требует чисел. Если данные содержат 100 управляющих переменных, то это означает необходимость определения около 200 чисел. Если из этих 100 переменных пропущена одна важная, вроде по которой происходят существенные изменения, результат все еще будет такой, как на рис. 17.4.

Далее напомним, что при указанной проекции требуется зависящая от управляющих переменных замена параметризующей поведение переменной х. Если управляющую переменную 5 можно спроектировать на ось Р простым забыванием о ней, но при этом складка лежит над осью не горизонтально (рис. 17.5(a), то игнорирование может растянуть картину по вертикали, как на рис. 17.5(b).

С помощью некоторой комбинации неизмеренных параметров, таких как или 5, можно, следовательно, равномерно распределить точные данные о складке на всю -плоскость!

Рис. 17.4

Рис. 17.5

(Разумеется, если мы можем ограничиться рассмотрением действительно одномерного сечения в пространстве параметров управления, двигаясь только по оси Р, то эти проблемы не возникнут. Успехи физических наук связаны именно с этой тактикой фиксации значений все большего числа переменных до тех пор, пока не начнут получаться воспроизводимые результаты. Но этот прием не всегда возможен в социальных науках.)

До некоторой степени, стало быть, теорема о том, что все управляющие параметры, кроме одного, вблизи складки могут быть сделаны „немыми", хотя и верна, оказывается ловушкой и обманом: для того чтобы устранить эти остальные параметры, нам надо получить о них целую кучу данных.

В задачах, возникающих в социальных науках, где многие из управляющих параметров неизвестны и „неуправляемы", графики, образуемые экспериментальными точками, могут, как мы видим, не выявлять вполне добротные катастрофы из-за того, что выбранная проекция неудачна. Здесь не поможет никакое преобразование данных; помочь может лишь лучшее понимание влияния „лишних" параметров или же более тщательно продуманный эксперимент, при котором фиксируется больше параметров. Это весьма серьезная проблема, иона не может быть устранена мановением волшебной палочки теории катастроф. Но и обратно — если данные приводят к хорошим кривым или поверхностям, то, значит, выбор параметров управления был в самом деле сделан очень удачно.

К этому вопросу самое непосредственное отношение имеет работа Коувера [187], очень полезное обсуждение которой можно найти у Бремермана [188], стр. 17—23. В ней показано, что если мы пытаемся разбить точек в на два класса при помощи многочлена, зависящего от М регулируемых параметров, который должен принимать на одном классе положительные значения, а на другом — отрицательные, то при большом М вероятность успеха внезапно и резко падает от почти полной достоверности до почти полной невозможности, как только становится больше, чем Другими словами, если число точек, классифицируемых моделью, более чем вдвое превышает число регулируемых параметров, то эта модель необычайно хороша в очень сильном смысле. Когда же мы используем не произвольные многочлены, а лишь многочлены из небольшого списка стандартных типов, то этот смысл становится еще

более сильным. Дальнейшая работа в этом направлении может привести к полезным критериям согласия для моделей с катастрофами.

Как и в физике (см., например, § 5 гл. 11), здесь чрезвычайно важно проводить различие между точной или явной системой уравнений и точной теорией. Многие из тех, кто занимался явлениями физических бифуркаций, пробовали применить свои усилия также и в социологических науках. Прекрасным примером служит работа Вайдлиха [188(a)], где формируются подробно разработанные гипотезы, приводящие к некоему варианту уравнения Фоккера — Планка из статистической физики, — сложная, детальная, аккуратная математика. Теми же методами, что и в гл. 15, его заключения сводятся к картине катастрофы сборки, которая более наглядно всё объясняет и содержит в себе все его доступные проверке предсказания (которые являются количественными — при незнании значений неизвестных параметров не в большей степени, чем модели цензурирования из § 1). Таким образом, просто принять модель сборки, экспериментально неотличимую от сложной модели с „точным" уравнением, будет куда более здравым решением. Сборка нечувствительна к малым возмущениям, в то время как небольшие изменения могут полностью изменить вид (а иногда и сущность) статистических уравнений. В устойчивости модели Вайдлиха (которую он не обсуждает) мы убеждаемся лишь при помощи теории катастроф.

В точности также как по меньшей мере десять различных статистических процессов приводят к пуассоновскому распределению (и потому статистические измерения не могут сказать нам, какой процесс происходит в данном случае), много разных процессов приводит — как предсказывает теорема Тома — к катастрофе сборки. Гипотеза пуассоновского распределения или гипотеза сборки по крайней мере проверяемы (когда нам повезло и мы имеем хорошие данные), и изучать их согласие с наблюдениями не в меньшей степени научно, чем изучать согласие планетных орбит с эллипсами.

В дальнейших трех параграфах мы обсуждаем три конкретные модели, которые можно характеризовать как „пригонку катастроф", с тем чтобы проиллюстрировать разнообразие возможных подходов и возникающих при этом проблем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление