Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЭМБРИОЛОГИЯ

13. Дифференцировка клеток

Рассмотрим эмбрион — сперва оплодотворенное яйцо, затем бластулу, круглый шарик из одинаковых клеток. Клетки тождественны не только на глаз, но и по своим возможностям; у многих видов бластула, разделенная случайным образом на две равные части, произведет две полноценные особи без каких-либо нехваток отдельных частей. Однако потомки этих клеток оказываются индивидуально определимыми как клетки печени, нервные клетки, клетки кожи и т. д., связанные чрезвычайно специфическими геометрическими соотношениями. Главная задача эмбриологии - объяснить, как возникают проявления этих структурных различий, этот морфогенез.

Несмотря на то что растения и другие представители биоты, рассматривавшиеся нами в предыдущих параграфах, состоят из миллионов клеток, экология во многих отношениях менее сложна, чем один эмбрион. Нам не нужны были химия или аэродинамика пчел, чтобы получить соотношение (16.3) и § 1, и во многих экологических исследованиях достаточно рассматривать небольшое число взаимодействующих видов при сравнительно простой модели поведения каждого из них. (Аналогично тому как инженера-строителя, имеющего дело со сталью и бетоном, редко интересует квантовая физика твердого тела, и таких макроскопических характеристик, как модули упругости, вполне достаточно для проводимого им анализа.) Однако клетка содержит много тысяч различных веществ, каждое из которых важно и, как правило, связано с определенными местами в клетке (ядром, рибосомами и пр.). Как же подступиться к моделированию всего этого?

В последние десятилетия основным подходом, имеющим за собой огромные достижения, была модель генетического переключения (в которой гены, ответственные за синтез различных белков, включены или выключены и взаимодействуют подобно триггерам цифровой вычислительной машины). Мы отложим ее рассмотрение до следующего параграфа, а сейчас обратимся к гладким моделям.

Клетку можно рассматривать как полупроницаемый мешок с химикалиями, причем между ней и соседями происходит обмен молекулами, а внутри нее происходят реакции, описываемые дифференциальными уравнениями. Первый заслуживающий внимания подход к моделям дифференцировки такого рода был развит Тьюрингом [172], который также был и первым настоящим теоретиком цифровых вычислительных машин. Уравнения, показывающие, как диффузия может сама по себе произвести пространственные вариации в распределении видов при однородном окружении (не меняющемся даже и гладко), можно найти у Хаделера, ван дер Хейдена и Роте [173]. Статья Тьюринга породила значительную литературу (хотя и много меньше, чем литература об абстрактных „машинах Тьюринга"), которая получила новую жизнь с привлечением методов современной теории динамических систем в духе Смейла [174, 175]. Совершенно ясно, однако, что динамику клетки не всегда можно трактовать как дифференциальное уравнение для средних концентраций веществ, поскольку не только эти вещества локализованы в пространстве, но большинство клеток содержит в огромном количестве складчатые мембраны, что усложняет реакции. Сводя эволюционистскую аргументацию к простой телеологии, можно было бы сказать, что такого сложного строения не было бы, если бы оно не влияло существенным образом на динамику клетки.

Но гладкая модель с реакциями, происходящими в каждой точке (с заменой дискретной клеточной структуры на некоторый континуум), и диффузией между ними по-своему интересна как для биологии, так и для теории химических веществ в растворе (где эта модель является приближенной в гораздо меньшей степени). Таким уравнениям реакции-диффузии было посвящено много работ, особенно с тех пор как стало известно эффектное образование геометрических структур при реакции Жаботинского. (Изложение с фотографиями имеется у Уинфри [176, 177]; из математической литературы см., например, Ховард [178].) В частности, из работы Коупелла и Ховарда [179] становится ясным, что наивный подход, основанный на динамическом описании событий, происходящих в каждой точке, — градиентном

или каком-либо другом — неадекватен; но, как и для каустик, геометрия катастроф, по-видимому, играет свою роль, см., например, Гукенхаймер [180]. В подходе брюссельской школы (см., скажем, Пригожин [181]), более элементарном с математической точки зрения, бифуркационные диаграммы в большинстве случаев, по-видимому, представляют собой частные неустойчивые сечения каспоидных катастроф; это заставляет думать, что возможен — и полезен — синтез с теорией катастроф, лишь только будет проделана определенная работа по приведению в порядок системы математических обозначений.

Подход элементарной теории катастроф, при котором клетки трактуются как континуум для дифференциальных уравнений, а диффузия служит для обеспечения пространственной непрерывности параметров уравнений, а не входит активно в динамику, является тем самым в принципе ложным. Но также как и в случае уравнений гидродинамики и подхода теории Катастроф к функциям тока, принципиальная сомнительность и громадный практический успех которых были описаны в гл. 11, здесь нет причин отказываться от него. Его следует рассматривать как подход, предсказывающий, что было бы полезно искать, а не что мы обязательно должны увидеть. В настоящее время лишь эксперимент может служить для определения того, какие аспекты клеточного роста и диффереицировки могут быть эффективно описаны при помощи этого подхода, а какие не могут. Развитие более изощренных теорий даст критерии надежности его употребления, в точности так же, как мы имеем критерий того, насколько близко к каустике можно пользоваться приближением геометрической оптики (§ 8 гл. 12), или же критерий Гинзбурга для применимости теории Ландау (§ 13 гл. 14). В физике геометрической оптикой и теорией Ландау пользуются вплоть до пределов их строгой применимости — а часто и дальше — из-за их большого удобства. Орбиты космических кораблей тоже рассчитывают не релятивистски.

Очень вероятно, что и в биологии существует подобное прочное место для элементарной теории катастроф. Наиболее ограничительной является гипотеза о том, что бифуркации локальных дифференциальных уравнений являются градиентно-подобными (т. е. могут быть приведены к бифуркациям подходящим образом построенных функций Ляпунова; это не значит, что сама динамика необходимо градиентная). Однако многие заключения, полученные первоначально в предположении градиентно-подобного поведения, на самом деле оказываются справедливыми в

Рис. 16.21

более широкой области. Например, на рис. 16.21 показано устойчивое явление коразмерности один, которое не может быть сведено к складке. В случае (а) имеются два притягивающих цикла, изображающие собой два колебательных состояния, возможные для клетки. При изменении к случаю (Ь) верхний цикл исчезает в результате нелокального взаимодействия с седлом, и любая клетка, обошедшая его, начинает двигаться прямо к другому циклу — в конкретных моделях обычно очень быстро. (Если вслед за тем динамика вернется к случаю (а), то клетка этого не заметит; следует ожидать, что наблюдаемое поведение будет очень хорошо моделироваться принципом промедления, хотя и с обычными осторожностями.) Множество таких точек скачка в типичном случае гладко и имеет коразмерность один, точно также как и линии или поверхности складок; то же самое рассуждение, которое приводит к зиманову закону параболической стабилизации границ, применимо и здесь. Это служит иллюстрацией того, что математическим инструментарием биолога должно быть скорее знание теории динамических систем вообще, чем список теорем, который мы дали в гл. 8. Следует всячески приветствовать включение в биологические исследовательские группы надлежащим образом ориентированных математиков; ввиду же наблюдающегося в последнее время перепроизводства квалифицированных специалистов с докторской степенью, недостатка в них не будет.

Эти замечания, разумеется, имеют ценность при условии, что такая математика действительно может быть с пользой применена в эмбриологии. (Мы считаем, что для экологии это установлено.) Главное, что тут уже можно продемонстрировать, — это теория гаструляции, принадлежащая Зиману и Куку (Зиман [157, 182], Кук и Зиман [183]), но ее фоном служит детальная эмбриология, а изложить ее вкратце неспециалисту гораздо сложнее, чем даже гидродинамику, которая из всех наших приложений потребовала больше всего места для предварительных объяснений (гл. 11). Мы просто не сумеем проделать это должным образом на том пространстве, которым мы здесь располагаем, и потому отсылаем читателя к оригинальным статьям; весьма удобно, что все они собраны вместе в сборнике работ Зимана [48]. Эта модель еще не получила общего признания, а даже если бы и получила, она, без сомнения, была бы при этом модифицирована, но во всяком случае она привела к успешным экспериментам. Было очень интересно в наших беседах с биологами, на которых до этого теория катастроф не производила особого впечатления, встретиться с

реакцией, что вот, наконец, есть теория, которую по крайней мере можно принять всерьез и обсуждать как биологическую, независимо от математических рассуждений — строгих или по аналогии, — лежащих за ней. Это само по себе важное достижение, так как глубины книги Тома чрезвычайно трудно поддаются передаче. Зиману, который описывает свою работу как попытку осуществить на практике программу этой книги, потребовалось несколько лет взаимных усилий для нахождения общего языка с Куком к другими биологами.

14. Катастрофы переключения

Выше мы уже упомянули, не останавливаясь на ней подробнее, важную модель генных переключений в динамике клетки. В некоторых кругах ученых эта парадигма стала столь доминирующей, что работу клетки стали воспринимать почти буквально как действие большой вычислительной программы. В этой картине, начиная с Тьюринга и далее, не оставляют никакой роли для дифференциальной динамики. Конечный автомат действует согласно законам комбинаторики, что заставляет отказаться от описания с помощью анализа бесконечно малых и всего, что с ним связано. Хотя программа, содержащаяся в дополнении 1, предназначена для использования в математическом анализе, никто не станет применять математический анализ для изучения работы вычислительной машиных. С этой точки зрения молекулярная биология занимает центральное положение, будучи ключом для нахождения всех правил переключения и для прочтения Великой Программы Жизни, включая и морфогенез.

В пользу такого подхода можно сказать много. Он дает нам не просто абстрактную, но медицинскую информацию — „расшифровку" различных заболеваний, прояснение роли антигенов в иммунологии и т. д. Но вывод о том, что мы поймем систему, лишь только узнаем, как связаны друг с другом ее переключения, вызывает большие сомнения; оставляя в стороне общеизвестную трудность понимания программы, написанной кем-нибудь другим, отметим, что существуют глубокие теоремы, которые необходимо учитывать. А именно, в общем случае для абстрактной машины Тыоринга даже в принципе есть лишь один-единственный

способ узнать такие элементарные факты о ее работе, как то, остановится она или нет через конечное число шагов, — это... запустить ее и посмотреть! (Теперь изучают и другие типы абстрактных автоматов, например со встроенными в них оракулами, но миазмы формальной неразрешимости пропитывают "весь предмет.) Ясно, что „понимание" поведения такой машины осуществимо лишь в более слабом смысле, чем устраивающее нас понимание морфогенеза. Разумеется, это не значит, что клетка не может аккуратно описываться моделью конечного автомата.

Как бы то ни было, трудно принять, что правила переключения генов могут быть вполне адекватны в качестве модели. Несомненно, что в клетке содержатся химические вещества в различных концентрапиях, а реакции, в которые они вступают, моделируются, как согласится каждый, дифференциальными уравнениями, причем эти реакции часто составляют, помимо всего прочего, функции клетки в объемлющем организме (например, удаление шлаков, накапливание жира,... — весь химический метаболизм). Такие реакции чрезвычайно подвержены влиянию внешних по отношению к клетке условий, поскольку эти условия — как раз то, с чем они предназначены иметь дело. Для управляющей переключательной системы необходима обратная связь с динамикой, поскольку система не может знать заранее, какие ферменты должны быть синтезированы в те или иные моменты. Связь между переключениями, чаще всего моделируемая включением или выключением гена в зависимости от того, с какой стороны от порогового значения лежит данная концентрация X, оказывается, таким образом, откликающейся на динамику. Обычная неявная гипотеза здесь состоит в том, что X является функцией (вообще говоря, нелинейной) от различных сюда включают концентрации шлаков, температуру, вещества, диффундирующие из других клеток.

Здесь, пожалуй, слишком упрощенно понимается роль динамики химических реакций, точно также как в полностью дифференциальной модели недооценивается роль переключений. Эксперимент показывает, что важные гены действительно включаются и выключаются, и допущение, что для описания этого достаточно скачков теоретико-катастрофической модели самих по себе, не будет удовлетворительным (как раз потому, что такие модели предсказывают вещи вроде параболического возрастания размера скачка: разница между включенным и выключенным состоянием — отнюдь не то, что может расти параболически). Нам приходится допустить модель переключения с „пороговым

Рис. 16.22

Рис. 16.23

значением для но мы надеемся, что читатель, который добрался до этой главы, прочтя предыдущие, посчитает простую функциональную зависимость неправдоподобно специальным случаем. Если динамика все же дает единственное значение X для каждой комбинации влияющих факторов то можно показать, обобщая рассмотрения гл. 6 на случай более общей динамики, что этот факт является устойчивым относительно малых возмущений; поэтому нельзя сказать, что типично он не будет иметь места (понимая „типичность" в смысле гл. 7), однако несодшенно, что это весьма и весьма частный случай. Мы выявили вездесущность кратных равновесий и бифуркаций структуры равновесных состояний для гораздо более простых систем; с чего бы сложной динамике клетки вдруг быть в этом единственном пункте столь простой?

Давайте рассмотрим простейшую динамику, выходящую за рамки тривиальной функциональной связи — градиентно-подобную геометрию бифуркации с принципом промедления и быстрого скачка. Первое, что мы обнаружим, — это опять же зиманов закон параболической остановки. Граница на рис. 16.22 (между теми клетками, для которых X уже прошло через критическое значение так что они переключились в другое состояние, и теми, для которых еще не прошло) движется в точности так же, как на рис. 16.16. Подобный пороговый уровень, который должен проходиться при скачках, можно ввести во многие теоретико-катастрофические модели, и это дает устойчивые модели с аналогичными свойствами. Однако свойства измененной модели не будут абсолютно тождественны свойствам исходной, так как наличие дискретных состояний типа включено выключено (или вытекающие отсюда следствия) изменяет такие предсказания, как параболическая локальная геометрия рис. 16.12. Наблюдения Эштона, описанные в § 10, очевидно, имели место в контексте без переключений. В экологии леса для них нет очевидных причин, хотя экологические дискуссии о „лимитирующем

Рис. 16.24

факторе" исходят как раз из этого допущения (вместе с допущением о функциональной зависимости, поставленным нами выше под сомнение). Количественные геометрические следствия для этих моделей настолько различны, что в программе экспериментальных исследований типа проводимой Эштоном вполне возможно в отдельных случаях произвести выбор между ними.

Несколько более новый для теории катастроф тип поведения возникает, когда поверхность катастрофы и уровень порога имеют пересечение. На рис. 16.23 (а) переход в пространстве управления через точку Р немедленно приводит к обратимому внезапному изменению (стандартная модель генного переключения; в теории катастроф это более известно как результат принципа Максвелла). Ситуация же, представленная на рис. 16.23 (Ь), дает гистерезис. Если „управляющей" переменной служит точка физического пространства, то в случае рис. мы имеем границу, которая будет сдвигаться при малых изменениях многообразия катастрофы М со временем в результате пересечения клетками порога переключения. В случае же рис. принцип промедления даст в типичном случае множество состояний, подобное жирной кривой на рис. 16.23 (с), с разрывом, на положение которого малые изменения М не влияют.

Для двух различных геометрий вроде изображенных на рис. 16.4 (а) и (Ь) переход от одной из них к другой, происходящий при изменении второго управляющего параметра Y, типично будет таким, как показано на рис. 16.24 (с). Локальная геометрия типичных ситуаций, которые тут встречаются при числе управляющих параметров не выше четырех, описывается списком многочленов из § 7, поскольку применяется в точности та же самая алгебра определенности и деформации независимо от того, будет ли дальше интерпретироваться как граница, определяющая ограничение, или как порог. Соответствующее поведение и

геометрия бифуркационных множеств, однако, совершенно различны для этих двух интерпретаций — сравните между собой рис. 16.24(c) и 16.9(c). Эти два типа геометрий будут проанализированы в книге Питта и Постона [158].

Чтобы на основе такой геометрии „катастроф переключения" построить детальные теории конкретных явлений морфогенеза, потребуются столь же напряженные усилия на стыке двух наук, каких потребовала модель гаструляции Зимана и Кука, однако дело стоит того. Заметим здесь снова, что мы говорим о приложении не списка Тома, а томистских методов. Единственная математика, которой можно надежно пользоваться, не понимая рассуждений, на которых она основана, это таблица умножения, но даже и здесь такое использование вслепую ведет к неэффективности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление