Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Классификация

Даже если ограничение и кривое в исходных координатах (как например, оно в типичном случае дает гладкую границу, и теорема о неявной функции позволяет нам выбрать координаты вблизи интересующей нас точки так, чтобы ограничение локально могло быть задано просто неравенством как на рис. 16.8. (Мы опускаем здесь случай, когда комбинация двух или нескольких ограничений порождает угол или же когда ограничение само варьируется в некотором -параметрическом семействе с бифуркацией, хотя это и можно изучить тем же самым способом.) Если оставить в стороне устойчивые случаи (минимумы, некритические точки и т. д.), то в таких координатах -параметрические семейства для типичным образом содержат функции, универсальные деформации которых (в рассматриваемом ограниченном смысле) могут быть приведены к следующим формам:

Здесь обозначает морсовскую сумму квадратов, взятых с плюсами или минусами (ср. § 7 гл. 7). Мы не

Рис. 16.8

числили здесь форм вида

поскольку ново здесь лишь то, что направление „внутрь" дает несущественную переменную нового рода. Для случая члены, содержащие и порождаются бесконечными семействами типов того же рода, что и в § 6 гл. 7 и § 19 гл. 14; четырехпараметрическое семейство может содержать какой-то один тип (для данного значения для которого трансверсальности можно добиться лишь с пятью параметрами. Немного возмутим это четырехпараметрическое семейство, и в нем появится другой тип, приводимый к такой же форме, но с другим значением (В каждом из перечисленных случаев препятствие к эквивалентности типов с различными значениями снова геометрически может быть выражено при помощи двойного отношения четырех прямых.) Таким образом, здесь „почти всё устойчиво" лишь вплоть до а не до как в ситуации гл. 7.

Если не различать двойственных между собой катастроф, то этот список дает нам 14 новых катастроф (с точностью до значений в добавление к 7 старым (внутри или на границе); в совокупности они описывают всё, что типично может произойти при не более чем четырех внешних переменных. Геометрия первых шести из них показана на рис. 16.9 (а для высших случаев будет разобрана у Питта и Постона [158]; здесь нам не хватит для этого места). Как и в случае внутренних катастроф, высшие катастрофы „организуют" низшие; например, (с) содержит линию, состоящую из катастроф линию из катастроф (Ь) и линию складок. В мы опустили х-направление, оставив вертикальное направление для у, чтобы был возможен рисунок. Жирные линии в плоскости во всех случаях отмечают точки, где меняется число минимумов. Заметим, что хотя

(с) напоминает сборку — двойственную сборку), поскольку область, над которой лежат два минимума, сходится к острию, однако точка острия здесь служит точкой параболического касания двух кривых. Поэтому, скажем, мы могли бы гладкой заменой создать в этой точке выпуклость с одной стороны и вогнутость с другой, в то время как из-за бесконечной кривизны в точке возврата кривой складок в обычной сборке двояковогнутость вблизи этой точки является свойством, инвариантным относительно диффеоморфизмов.

Рис. 16.9 (см. скан)

Эта классификация слишком нова для нас, чтобы мы могли предложить столько же примеров и приложений, сколько мы дали для внутренних катастроф в предыдущих главах, однако сфера их применимости столь же широка. Рисунок 16.4 мы получили в результате исследования экономики пчел, но впервые подумали про него в связи с археологией (см. § 2 гл. 17, а также Ренфри и Постон [159]), а позже применили аналогичные рассуждения к проблеме

размещения и размеров торговых центров (Постон и Уилсон [160]). Совсем недавно мы нашли пример из физики лазеров (см. также гл. 15), где появляется не только рис. 16.4, но и рис. 16.9 (с), фронтальным сечением которого служит рис. 16.4. Предложенная Томпсоном [161] явная модель перехода с участием фононов, переводящего систему в возбужденное состояние (лазерное действие), локально приводима с помощью соответствующих этому контексту теорем об определенности и деформации к катастрофе плюс положительно-определенный член отвечающий „несущественной переменной".

Как было отмечено в § 17 гл. 14, имеется тесная связь между катастрофами с ограничениями и катастрофами с условием инвариантности относительно действия заданной группы; фактически эти задачи часто оказываются математически эквивалентными. Возьмем не лазер Томпсона (переход с участием фононов), а более простой лазер предыдущей главы при нулевом внешнем магнитном поле а. Этот случай приводится к форме (в проинтегрированном, „потенциальном" виде), и в рамках пространства четных функций, поскольку оно есть одновременно пространство всех функций от мы могли бы заменить переменную X на и получить катастрофу с ограничением Это в точности то, что делается при замене амплитуды (которая может быть отрицательной — с противоположной фазой) на интенсивность (которая существенно положительна). Однако, как только симметрия нарушается (например, из-за внешнего поля), эта замена лишь запутывает дело, ничему не помогая.

Обратите внимание, каким образом математическая устойчивость зависит от „устойчивости" исходных гипотез: экономические ограничения (типа „цена ") гораздо устойчивее, чем симметрии (типа „магнитное поле и это позволяет осуществить преобразование к задачам с ограничениями. Мы могли бы преобразовать экономическую задачу в симметричную, нарушить симметрию и сказать „смотри, вот неустойчивость!" — но нарушающий симметрию член нельзя „провести назад" через это преобразование. Структурная устойчивость, должны мы повторить, зависит от постановки задачи и от класса возмущений, устойчивость по отношению к которым мы рассматриваем, равно как и от используемого понятия эквивалентности.

Тот же самый набор стандартных многочленов (но с иной интерпретацией, отличающейся от описанной здесь настолько, что она дает другие картинки) очень естественно появится снова в § 14.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление