Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

КАТАСТРОФЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

6. Граничные эффекты

Читатель, возможно, уже заметил, что изображенная на рис. 16.4 катастрофа, при которой меняется характер локальной устойчивости одиночного образа жизни (по отношению к объединению), не принадлежит к явлениям, изучавшимся в гл. 7—9. Однако это — совершенно устойчивое событие коразмерности 1, что должно быть ясно из рис. 16.6, где показаны эта катастрофа и двойственная к ней. Таким образом, эта бифуркация совершенно устойчива в однопараметрическом семействе, и, однако, она не находит себе места в списке Тома. Она не служит контрпримером к теореме Тома; как и в случае с эффектами симметрии (§ 3 гл. 7, §§ 15—20 гл. 14), это лишь показывает, с какой осторожностью следует подходить к этой теореме. Все

Рис. 16.5

Рис. 16.6

рассуждения гл. 7 опирались на отождествление максимумов, минимумов и т. д. с точками, где обращается в нуль производная. Это справедливо внутри области определения функции, но если область имеет четкую границу, это неверно. Нужное условие теперь заключается в том, чтобы обращалась в нуль первая производная по направлениям вдоль границы (рис. 16.7). (Если граница области нульмерна, как на рис. 16.6, это условие удовлетворяется автоматически.)

Поскольку неравенства составляют неотъемлемую часть математики, используемой в биологических и социальных науках (популяции или химические концентрации не могут быть отрицательными; в предыдущем параграфе радиус территории не мог быть меньше чем самое большее автомобилей в час может пройти по данному отрезку шоссе), бифуркации в соответствующих задачах оптимизации обязательно будут встречаться с такими критическими точками. (В «нелинейном программировании», как именуется вычислительный аспект задач, экстремумы чаще всего встречаются на границе.) Результаты гл. 7 и 8 не могут быть здесь применены, однако методы могут. В отсутствие специальных условий типа симметрии или линейности мы снова можем перечислить типичные явления, которых можно ожидать в -параметрических семействах при различных Полное изложение будет дано у Питта и Постона [158]; здесь мы лишь иллюстрируем возникающие в этом случае виды катастроф с ограничениями. (Заметим, что обычные катастрофы по-прежнему могут встречаться внутри

Рис. 16.7

области; на самом деле большинство катастроф с ограничениями имеют сопровождающие их семейства „внутренних" катастроф меньшей коразмерности.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление