Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Высшие производные

Допустим, что функция дифференцируема. Рассмотрим ее производную

где пространство линейных отображений из Каждый элемент из задается матрицей размера , выписывая элементы этих матриц в каком-нибудь фиксированном порядке, мы можем отождествить Таким образом, на можно смотреть как на отображение из Это отображение может быть, а может и не быть дифференцируемым. Если оно дифференцируемо, то для всех существует и в этом случае мы говорим, что функция дважды дифференцируема, и пишем

Для каждой точки вторая производная в этой точке есть линейное отображение из Это довольно сложное понятие можно интерпретировать с помощью координат. Пусть Тогда мы имеем матрицу

Значит, в стандартных координатах задается равенством где

Но имеет матрицу

и

Таким образом, матрица состоит из всех вторых частных производных от координатных функций Не удивительно, что определение получается довольно-таки сложное! В наиболее интересном для нас случае отображений вторая производная представляется матрицей Гессе (или гессианом)

В общем и целом, явное описание третьей производной нам не потребуется. Однако мы часто будем делать предположение, что интересующие нас функции являются гладкими, т. е. обладают производными любого порядка. В координатах это означает, что их частные производные любого порядка существуют (и непрерывны).

Если у функции существуют и непрерывны частные производные до порядка включительно, то мы говорим, что она раз дифференцируема или что она принадлежит к классу С. Гладкие функции принадлежат к классу Иногда мы будем ослаблять условие дифференцируемости до кусочной дифференцируемости, когда функцию можно представить в виде суммы конечного числа функций, каждая из которых определена на своей области и там дифференцируема.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление