Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12 Распределение фотоответов

В экспериментах с фотоответами (Глаубер [152, 1531) подсчитывается число фотонов. Если состояние электромагнитного поля представляется вектором в пространстве Фока, то скалярное произведение представляет собой амплитуду вероятности того, что в эксперименте будет получено фотонов (т. е. что данное состояние содержит фотонов). Вероятность регистрации ровно фотонов равна квадрату абсолютной величины этого комплексного числа:

Если мы не можем гарантировать, что система находится в состоянии но можем лишь считать, что это так с вероятностью то (15.23) слегка меняется:

Оператор в скобках оказывается нашим старым приятелем, оператором плотности (см. (15.12)). Оператор может быть выражен с помощью полного ортонормированного базиса пространства Фока:

Значит, вероятность которую мы ищем, является элементом матрицы оператора плотности:

Следующий шаг в процессе поиска функции вероятностного распределения для фотосчетчика заключается в простой арифметике:

и

Так как можно также записать Фактически, используя представление (15.25) для оператора

плотности, мы имеем

В этом выводе мы использовали ортонормированность состояний где — символ Кронекера если и 0 в противном случае). Комбинируя (15.26), (15.27) и (15.28), мы приходим к равенству

До сих пор мы обходили молчанием то, как можно вычислить оператор плотности для поля, не говоря уж об ожидании Эти вопросы оказываются также удивительно простыми.

В приближении среднего поля, введенном в § 7, атомы ведут себя подобно классическим источникам, постольку поскольку речь идет о поле. Поэтому, если бы нам было нужно выписать гамильтониан только для подсистемы поля, он был бы линейной суперпозицией операторов числа фотонов, рождения и уничтожения (ср. с (15.8) или (15.13)). Для такого гамильтониана имеется чудесная теорема (Гилмор и Нардуччи [147]), которая гарантирует нам, что при подходящих условиях (выполненных в данном случае) приведенный полевой оператор плотности имеет такой общий вид:

где означает „пропорционально". Оператор плотности должен быть нормирован на единицу: (см. (15.11)). Мы можем работать и с ненормированным оператором плотности, если только ожидаемые значения определены как

Мы хотим ассоциировать параметры с точками на поверхности многообразия сборки. Прежде чем сделать это, полезно пойти на одно дополнительное усложнение. А именно, нужно вычислить ожидаемое значение еще для одного оператора. Мы делаем это, чтобы получить очень удобную производящую функцию. Оператор этот

а его ожидаемое значение равно

Коэффициенты не имеют между собой ничего общего. Можно доказать (недостаток места вынуждает нас опустить соответствующее рассуждение, использующее ряд глубоких результатов из теории групп Ли (Гилмор [147а])), что след в числителе равняется

Это верно при Знаменатель в (15.31) является частным случаем числителя, и вся дробь (15.31) легко вычисляется; в результате получаем

Хотя это выражение для ожидаемого значения довольно неуклюже, оно содержит в себе всё, что мы хотим знать:

Теперь мы в состоянии установить связь с многообразием сборки. В силу (15.34а, имеем так что оператор плотности в (15.30)

приобретает вид

Примечательно, что полевой оператор плотности „расщепляется" на две части. Операторная часть зависит от геометрии катастрофы сборки в точке Число М зависит от физических факторов и фактически тесно связано с шумом.

В экспериментальных целях удобно описать измерение в терминах сигнала и шума. (Подробное обсуждение того, как экспериментатор может удостовериться, что реально измеряемые им эффекты действительна соответствуют эффектам, которые его интересуют, см. у Ареччи [154].) Такое разложение на сигнал и шум очевидно из (15.34с), где сигнал а шум системы представляет собой корреляционную функцию

Точка X на многообразии сборки определена (самое большое с выбором из двух возможностей — верхнего или нижнего листа) сигналом системы, а М (физика) определяется по шуму системы:

Теперь уже найти функцию (15.29) вероятностного распределения фотосчетчика — довольно простое дело (Глаубер [152]). Для этого прежде всего мы подставляем в (15.33), получая ожидание Если теперь положить то мы значительно приблизимся к цели:

Это выражение просто напрашивается, чтобы его разложили по степеням х (взгляните на (15.29)). Более того, что-то тут смутно напоминает о производящей функции многочленов Лагерра (Абрамовиц и Стиган [69])

Чтобы сделать соответствие между (15.37) и (15.38) не столь

смутным, запишем:

Мы видим, что

Функция вероятностного распределения фотосчетчика может быть найдена путем сопоставления (15.40) и (15.29):

По поводу экспериментов, позволяющих измерить это распределение (в предположении применимости закона больших чисел), см. Ареччи [154]. Типичный результат сравнения (15.41) с экспериментом показан на рис. 15.8, взятом из статьи Фрида и Хауса [155]. Предпочесть этому какую-либо более отточенную теорию было бы делом затруднительным.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ

В этой части главы мы вновь рассматриваем „лазерные" уравнения движения (15.19), но на этот раз с другими граничными условиями. А именно, мы ищем стационарные решения при термодинамическом равновесии с температурой . В результате мы снова приходим к катастрофе сборки. Так как рассуждения при равновесных граничных

Рис. 15.8. Распределение вероятностей при послепороговом режиме работы лазера, Гц. (Фрид и Хаус

условиях очень похожи на аналогичные рассуждения, проведенные в § 9, материал §§ 13—16 будет изложен довольно сжато. Главный результат — довольно неожиданный — состоит в том, что различные результаты, предсказанные с помощью (15.19) при равновесных и неравновесных граничных условиях, очень тесно связаны друг с другом и могут быть получены друг из друга посредством „вещественноаналитического соответствия" на многообразии сборки. (Мы могли бы сказать „аналитического продолжения, но это плохо вяжется с тем, к чему привыкли математики.)

Этим демонстрируется вездесущность и унифицирующая мощь теории катастроф в самой сильной форме: это не столько слова некоторой размерности всё есть сборка", сколько возможность для нас найти общую каноническую форму для различных детально разработанных моделей, так что их соответствие становится ясным и предсказания и эксперименты одной отображаются в предсказания и эксперименты другой. Распознать появление катастрофы сборки столь же важно и полезно, как и распознать появление простого гармонического осциллятора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление