Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Частные производные

Для предел

если он существует, называется частной производной в

Рис. 3.5

точке х по и обозначается через

либо, более традиционно, через

(символ используется в двух различных смыслах!). Эта частная производная равна обычной производной от функции определенной условием

в точке Здесь все другие переменные рассматриваются просто как константы. Отсюда вытекает, что есть наклон касательной к графику проведенной в направлении оси эта касательная совпадает с прямой, по которой касательная гиперплоскость к графику пересекает координатную плоскость, задаваемую уравнениями (см. рис. 3.6).

Значение частных производных состоит в том, что они доставляют явные выражения для производной в стандартных координатах. А именно, если дифференцируема в х, то существует для всех и имеет в стандартных координатах для матрицу

Здесь, как обычно,

Например, пусть

Рис. 3.6

Тогда

и

Значит,

Можно доказать, что существует, если все существуют и непрерывны (обратное утверждение, вообще говоря, неверно). Такая функция называется непрерывно дифференцируемой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление