Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Многообразие неравновесных стационарных состояний

Теперь мы ищем стационарные решения нелинейных уравнений (15.19) с неравновесными (т. е. лазерными) граничными условиями. Эти уравнения упрощаются (при ) до

При выводе (15.20) мы приняли а (амплитуду внешнего поля) вещественной, так что (а) также вещественно, согласно замечанию (с) из § 6; для простоты также вещественное. Уравнение для стационарных значений получается решением первого из уравнений (15.20) относительно и третьего относительно с последующей подстановкой во второе уравнение. После некоторых преобразований получаем уравнение

Это — кубическое уравнение относительно ожидаемого значения амплитуды поля („параметра порядка"), поэтому оно может быть приведено к канонической форме многообразия катастрофы сборки:

где

Рис. 15.2

Рис. 15.3. (а) Амплитуду найти нелегко, так как оптические приборы обычно измеряют интенсивность. Однако эта амплитуда линейно связана с атомной поляризацией согласно уравнению (15.20). Лее кривые на графике показывают, как зависят от равновесной инверсии населенностей . Для удобства оси „растянуты", как это указано на рисунке. (По Грейему. См. Хаке [227].) (Ь) Лазер настроен таким образом, что обе моды являются активными при достаточно высокой скорости накачки (пропорциональной А). При имеем допороговый режим. При лазер находится в послепороговом режиме для первой моды. За исключением пороговых областей для обеих мод, где имеется искривление вследствие флюктуаций, интенсивность возрастает линейно. Поскольку моды конкурируют, при генерации моды 2 несколько подавляется интенсивность моды 1 (уменьшается коэффициент наклона). (По Гроссмэну. См. Хакен [227].)

Рис. 15.4

Уравнения (15.22) отождествляют точку на многообразии сборки (рис. 15.2) со стационарным состоянием лазера с параметром порядка определенным из (15.22), и параметром порядка определенным из (15.20). Далее, матрица Якоби преобразования от к А, В неособая вблизи так что мы имеем универсальную деформацию „сингулярного" уравнения для стационарных значений, отвечающего значениям управляющих параметров

(если последнее значение возможно — напомним, что по определению). Заметим, что, как и в § 2 гл. 14, мы продеформировали не „потенциал", а „уравнение состояния". Таким образом, замечания в конце § 6 гл. 14 означают, что для бифуркаций более высокого коранга потребуется выяснить, существует (или нет) потенциал, по крайней мере теоретически, если не для расчетов.

ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Сравнение математических предсказаний с результатом эксперимента всегда служило физику проверенным средством отделения зерен от плевел. Давайте займемся этой процедурой. Мы описываем по одному эксперименту в каждом из следующих трех параграфов. Первые два „грубы" и „ортогональны друг другу". Грубы в том смысле, что они измеряют лишь усредненные свойства поля, связанного с лазером. Ортогональны в том смысле, что варьируются совершенно различные физические управляющие параметры и

реакции лазера на изменения этих параметров также совершенно различны. Третий эксперимент — это эксперимент второго поколения, он зондирует детальную структуру электромагнитного поля, порождаемого лазером.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление