Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Приближение среднего поля

Уравнения (15.18) все еще недостаточно просты. Они нерешаемы. Дифференциальные уравнения для ожидаемого значения одного оператора требуют привлечения операторных произведений, таких как

Одна из возможностей заключается в том, чтобы построить уравнения движения для этих операторов:

с надеждой получить таким образом систему замкнутых уравнений. Это тщетная надежда. Уравнения движения для произведения двух операторов требуют произведения трех, и всё быстро ухудшается.

Другая возможность заключается в том, чтобы сделать систему (15.18) замкнутой, предположив, что ожидаемые значения произведений операторов „расщепляются", например в том смысле, что Тогда (15.18) становится замкнутой системой нелинейных уравнений. Нелинейность приводит к очень интересному поведению. В действительности она ведет к катастрофе сборки.

Хотя совершенно ясно, зачем нужна эта расщепляемость (мы не можем без нее сдвинуться с места), неясно, как ее оправдать. Однако оказывается, что относительная ошибка, получаемая при вычислении любого ненулевого ожидаемого значения при таком допущении, имеет порядок где — число атомов. В небольшом лазере может равняться, скажем, , так что (малое число). Это число достаточно мало, чтобы доставить удовольствие даже самым страстным приверженцам -математики; тем более, оно внушает мало беспокойства физику-экспериментатору.

Предположение о расщепляемости эквивалентно допущению о среднем поле. Это допущение заключается в том, что по отношению к полю атомы выглядят классическими источниками, а по отношению к атомам классическим выглядит поле. Скажем иначе: если мы желаем рассматривать лишь поля, то будет вполне адекватным заменить атомные операторы на их ожидаемые значения и обратно. В свою очередь это эквивалентно допущению, что оператор плотности для всей взаимодействующей системы атомы — поле расщепляется в прямое произведение двух приведенных операторов плотности одного — только для подсистемы поля, другого — только для подсистемы атомов. Хотя мы и не можем вычислить для (15.13), мы можем найти как так и в приближении среднего поля. Далее, является оператором, определяемым точкой на многообразии сборки.

Расщепленные уравнения (15.18) теперь могут быть несколько упрощены. Это можно сделать, устранив сильную зависимость от времени А это делается с помощью подстановок и аналогичных подстановок для (а~)е. Затем немного алгебры, и мы имеем новую систему уравнений с тильдами (также и Отбрасываем тильды в

угоду типографии и получаем упрощенную систему уравнений

В этом выводе мы использовали соотношения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление