Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Уравнения движения

Зависимость от времени для ожидаемого значения оператора в „чистом“ состоянии может быть выведена из уравнения

Из уравнения Шрёдингера (15.6) мы знаем, что Поэтому (15.14) упрощается до уравнения Гейзенберга

Если система в действительности описывается оператором плотности с вероятностями не зависящими от времени (см. (15.10)), то (15.15) для чистого состояния можно умножить на и просуммировать по что даст

Значит, для подсчета производной по времени от ожидаемого значения не зависящего от времени оператора надо лишь вычислить ожидаемое значение коммутатора поскольку

Если использовать уравнение (15.16) совместно с (15.13), то составить уравнения движения для не представляет труда. Поскольку для всех опустим индексы у атомных операторов:

При выводе уравнения (15.17) использовались коммутационные соотношения (15.3) и (15.5), а также билинейность коммутатора и его свойство («формула Лейбница»).

Уравнения (15.17) фактически не так уж полезны, поскольку коммутаторы еще кое-что не дают никакой информации. Но в то время как член кое-что" в (15.13) сам по себе довольно сложен, этого нельзя сказать о его влиянии на уравнения движения. На самом деле его влияние заключается в трех эффектах (первые два обсуждались Хакеном в [143], третье — Гилмором и Нардуччи в [147]).

(а) Затухание. Если ожидаемое значение, скажем отклоняется на а от своего равновесного значения то оно возвращается обратно к своему равновесному значению по типичному экспоненциальному закону:

Это может быть полностью учтено с помощью подстановки вида

в (15.17). Равновесное ожидаемое значение — это то, которое было бы получено в отсутствие диссипативных потерь („трения").

(b) Шум. Дополнительные члены в (15.13) приводят также к появлению случайного неоднородного вынуждающего члена в правых частях каждого из уравнений (15.17). Этими шумовыми членами чаще всего пренебрегают. При обсуждении уравнений лазера мы поступим точно так же. (Как говорилось в предыдущей главе, в § 10 и дальше, пренебрежительное отношение к флюктуациям ведет к затруднениям в непосредственной близости от критической точки; в данном контексте это затруднение известно как конкуренция между модами". То, что мы находим, это на самом деле пики вероятности, которые можно толковать как предсказания о возможных средних, если они достаточно резки, — как и бывает всюду, за исключением окрестности точки бифуркации.)

(c) Дополнительные члены требуют также, чтобы ожидаемые значения были вещественными, если таково а. Это очень удобно, так как канонические уравнения (15.22) и (15.44) не были бы структурно устойчивыми при вещественных одномерных А, В, если бы (а) было комплексным. Короче говоря, уравнения (15.17) „упрощаются" так:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление