Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Измерения

Еще несколько слов о дираковских обозначениях: для всякого вектора дуальный вектор определяется так: он принимает значение 1 на и 0

на всех векторах, ортогональных к Если собственный вектор оператора то для энергии соответствующего состояния имеем

— это энергия, которую мы ожидаем найти (и с определенностью находим, если физическая система находится точно в этом состоянии). Вообще „ожидаемое значение" для произвольного оператора 1 6 в таком состоянии равно

В частности, когда поле находится точно в собственном состоянии ожидаемое значение для в точности равно отсюда и название „число фотонов".

Этот формализм подсчета ожидаемых значений для операторов прекрасен, если:

(a) нам известны собственные состояния ;

(b) мы знаем, что физическая система находится в некотором собственном состоянии.

Однако значительно чаще:

(а) мы не можем определить собственные состояния;

(Ь) физическая система не находится ни в одном из собственных состояний.

Для модельного лазера с гамильтонианом (15.8) мы сталкиваемся с ситуацией Для реальной физической системы мы сталкиваемся также и с ситуацией Как поступать в таком случае? Среди физиков популярны два подхода к такого рода трудным проблемам:

(а) игнорировать проблему в надежде, что она снимется сама собой (применяется иногда);

(Ь) подкрасться к проблеме сзади (применяется как правило).

Последний подход в некотором отношении полезнее, и мы здесь ему последуем.

Если бы система находилась в собственном состоянии (неважно, что мы не можем найти то ожидаемое значение наблюдаемой было бы . Если система находится в состоянии с вероятностью то ожидаемое

значение 6, обозначаемое через равно

Это можно записать иначе в форме, напоминающей то, как записывается оператор проектирования:

Оператор называется оператором плотности. Оператор плотности полностью характеризует физическую систему.

Проблемы (а) и о которых говорилось выше, разрешаются (или, если угодно, обходятся) при помощи оператора плотности. В действительности зачастую нам даже не нужен, нужно знать лишь некоторые ожидаемые значения. Для одного ряда измерений (представленных выборкой на рис. 15.8 ниже) мы, однако, подсчитаем в явном виде.

Разумеется, не каждый оператор в бесконечномерном случае имеет след (тождественный оператор его не имеет), но чтобы соблюсти строгость в этом месте, нам нужно подкрадываться уж слишком издалека. Строгость и геометрические объяснения потребовали бы от нас принять целый ряд предложений о системе и двигаться через проекторно-значные меры к операторам, с которых мы начинаем при нашем „элементарном" подходе. Здесь нет места для пересказывания книги Яуха [144] или одного из томов Варадараджана [145], так что мы будем хладнокровно пользоваться обозначениями практической физики и точкой зрения Дирака на бесконечномерность (ср. это с замечаниями в конце § 11 гл. 14).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление