Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3 Взаимодействие

Состояние объединенной системы (атомы поле) описывается вектором в тензорном произведении указанных двух пространств. (За объяснением знака 0, но не того, почему он тут уместен, отошлем читателя к Додсону и Постону Эволюция во времени для таких состояний задается сопоставлением каждому направления движения в При этом имеет место линейная зависимость от (что очень удобно). По той исторической причине, что соответствующее дифференциальное уравнение приобрело известность раньше, чем обозначения Дирака, это уравнение (уравнение Шрёдингера) обычно записывают без дираковских скобок

где — постоянная Планка, линейный оператор (называемый гамильтонианом), от которого требуется, чтобы он был эрмитовым, по причинам, которые мы здесь обсуждать не будем. В любой физической модели, разумеется, нужно задавать достаточно явно.

Почти во всех случаях уравнение Шрёдингера оказывается слишком сложным, чтобы можно было решить его; как и в § 5 гл. 12, мы будем искать решения, которые описывают лишь колебания по закону

Подставляя это в (15.6), мы получаем уравнение для и отбрасывая, как обычно (0), приходим к уравнению для собственных значений

Число отвечающее данному собственному вектору дает частоту и тем самым энергию решения, так что — это энергетические уровни системы.

Итак, мы должны ввести гамильтониан для лазера, или, точнее, для описанной выше упрощенной модели. Наиболее часто используется гамильтониан, предложенный Дикке [142]; обширный обзор (с библиографией) соответствующих математических подходов дан у Хакена [143]. Гамильтониан Дикке имеет вид

Этот оператор действует в гильбертовом пространстве . С точки зрения задачи о собственных значениях отдельные члены здесь имеют следующее значение:

(a) Первый член измеряет энергию моды поля в предположении, что она единственная, с энергией фотонов Этот член действует лишь на первый сомножитель векторов вида из

Второй член измеряет энергию в атомных системах. Мы принимаем, что энергии возбужденного и основного состояний равны соответственно Этот член действует лишь на второй сомножитель.

(c) Третий член описывает испускание фотонов, когда атом переходит из возбужденного в основное состояние и переход атома из основного в возбужденное состояние, когда поглощается фотон Константа связи Я характеризует, насколько сильно взаимодействуют атомы и поля. Этот член действует на оба сомножителя в Именно благодаря ему гамильтониан (15.8) становится физически интересным и математически трудным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление