Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1 Атомы

Структура энергетических уровней атомов или молекул в лазере, как правило, очень сложна (рис. 15.1(a)). Атомы тем или иным способом возбуждаются и переходят из основного состояния в одно из состояний с более высоким энергетическим уровнем (шаг А). Затем атомы спускаются до некоторого метаустойчивого состояния (шаг В). Они остаются в этом состоянии, пока не будут стимулированы (stimulated — отсюда буква в „LASER") к испусканию светового излучения (emit light radiation — отсюда буквы и в результате чего они перейдут на некоторый вполне определенный более низкий уровень (шаг С). С этого более низкого уровня атомы переходят опять в основное состояние, и процесс возобновляется.

Весь процесс может быть чрезвычайно сложным, поэтому мы не сможем здесь изучить его подробно. Для многих целей в физике практически достаточно ограничиться рассмотрением двух энергетических уровней атома (рис. 15.1(b)). Мы здесь последуем этому обычаю. В упрощенной двухуровневой атомной модели (рис. 15.1(b)) „основное" состояние в действительности не будет состоянием с наименьшей энергией.

Для наших целей детальная природа механизмов , ведущих от основного к возбужденному состоянию, не имеет большого значения. Достаточно знать, что мы можем „накачать" атомы от основного до возбужденного состояния, откуда они могут вернуться, испуская фотоны и

Рис. 15.1

тем самым усиливая (amplifying — отсюда буква А) соответствующий электромагнитный сигнал.

Этот упрощенный атом с двумя состояниями не будет находиться с определенностью том или другом состоянии, если только мы его не вынудим к этому (точно так же, как фотон будет с определенностью поляризован некоторым образом, лишь если мы только что пропустили его через поляризатор): состояние атома представляет собой суперпозицию (линейную комбинацию) двух состояний и, значит, пространство состояний является векторным пространством, натянутым на основное состояние и возбужденное состояние Поскольку эти базисные состояния в некотором отношении напоминают моды колебаний и накладываются друг на друга с определенным соотношением фаз, векторное пространство должно быть комплексным; так как базис фиксирован, его можно отождествить с пространством упорядоченных пар комплексных чисел, и мы обозначаем его через Для описания движения в этом пространстве нужно использовать различные возможные операторы на этом пространстве; или, точно так же как в § 2 гл. 8 мы находили матрицы, дающие направления смещения в так здесь мы будем искать аналогичные матрицы для (Говоря формально, мы собираемся работать не с группой Ли обратимых операторов в а с ее алгеброй Ли, т. е. с касательным пространством к этой группе в точке, отвечающей тождественному преобразованию.) То, что мы выписали

в гл. 8, представляло собой на деле тождественную матрицу плюс различные такие „матрицы-направления", зависящие от всевозможных ; здесь же мы будем использовать „матрицы-направления" сами по себе. В данном случае оказываются полезными матрицы, натянутые на

Заметим, что как бы заставляет нас добавлять что-то „основное", если у нас есть что-то „возбужденное" (и наоборот для в то время как о увеличивает „возбужденное" и уменьшает „основное". (Это грубо выражено, но попробуйте представить себе, что делает матрица при малых беря по очереди Для вычислений важны следующие коммутационные соотношения, показывающие, как влияет на результаты изменение порядка этих „направлений" во времени:

где

Алгебры Ли классифицированы (в тонком взаимоотношении с теорией катастроф, см. работу Арнольда наша алгебра является простейшей,

Реальный лазер состоит из большого числа атомов. Каждый двухуровневый атом может быть представлен вектором в своем собственном двумерном пространстве Со всяким атомом ассоциирована система из трех операторов . Операторы для одного атома перестановочны с операторами для любого другого:

Гильбертово пространство для системы из двухуровневых атомов — это тензорное произведение размерности

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление