Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19 Симметрии кристаллов

Дело существенно усложняется, когда становится многомерным, а симметрии — менее простыми. Важен случай, когда трехмерно, а рассматриваемая симметрия есть симметрия кристалла. Для функций переменных, инвариантных относительно действия конечной группы (например, какой-нибудь из 32 кристаллографических точечных групп) или компактной группы, результаты гл. 8 остаются в основном теми же самыми. Их, однако, уже нельзя выразить на нашем „подсокращенном" языке, и тут мы можем лишь отослать читателя к строгим математическим изложениям, а именно к работам Бирстоуна [138], Филда [78] Поэнару [79—81], Ронга [139] и к прекрасно приспособленному для приложений изложению Вассермана [81а]. Частный случай кристаллографических групп разбирается с соответствующей физической интерпретацией математики в работе Эшера, и Постона [140].

Пусть, например, рассматриваемые функции от вектора удовлетворяют условию

(симметрия относительно группы в обозначениях по международной кристаллографической системе, или системе Германна — Могена). Тогда типичное двухпараметрическое семейство таких функций будет состоять лишь из функций, приводимых вблизи начала к одной из форм:

Здесь — инвариантные относительно диффеоморфизмов константы типа двойного отношения, встречающегося в высших размерностях в асимметричном случае (§ 6 гл. 7). Первые две формы устойчивы, и с ними не связано никаких бифуркаций. Третья и четвертая дают обычные катастрофы складки и сборки с z в качестве существенной переменной. Остальные имеют следующие универсальные деформации

(в пределах класса симметричных относительно указанной группы функций):

(Члены в квадратных скобках оказывают влияние лишь на дифференциальные инварианты а или но не на топологию деформации.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление