Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

18 Трикритические точки

Среди четных потенциалов (трактуемых в рамках теории Ландау или какой-либо более глубокой теории) точки типа имеют коразмерность 1, так что, скажем, в -плоскости мы ожидаем увидеть и действительно видим целые кривые, состоящие из точек фазового перехода второго рода (в точности также как в асимметричном случае два управляющих параметра дали кривые, состоящие из точек складки типа и изолированные точки сборки типа Аналогичным образом в изолированных точках -плоскости мы можем ожидать потенциалы, приводимые к виду Подходящие координатные замены (существующие, как и раньше, в силу тех же условий трансверсальности, благодаря которым эти точки изолированны) превращают семейство вблизи таких точек в

Геометрия множества критических точек показана на рис. 14.18. (Заметим, что „множество Максвелла" точек скачка в теории Ландау имеет лишь параболическое касание с линией точек фазового перехода второго рода, а не продолжает ее гладко, как иногда рисуют.)

Что же добавляют к этому члены, нарушающие симметрию? Например, если, как в модели Вейсса, обозначает намагничение, каков будет эффект внешнего поля Я? Обычно применяемый подход состоит в добавлении строго линейного по и по члена, скажем где — константа; для уравнения состояния из 2 это означает добавление члена Это может оказаться верным физически в какой-либо точной теории, но математически это ошибочно в отношении соображений трансверсальности, фундаментальных для теории Ландау и во многом для методов ренормализационной группы. Действительно, допустим, что потенциал по зависит от А, В, Н в точности следующим образом:

где локально приводится к виду с помощью преобразования

Рис. 14.18.

Как уже отмечалось, эта ситуация типична. Далее, благодаря сильной -определенности мы можем потребовать, чтобы

так что совпадают с точностью до первого порядка. Разлагая по мы получим

для некоторого Если желать, чтобы обратилось в нуль, т. е. чтобы совпадали с точностью до третьего порядка, то нам пришлось бы удержать в тейлоровском разложении по члены восьмого порядка. (Чтобы увидеть причины этого, нужно повторить рассуждения определенности из гл. 8 для этой „ультрасильной определенности", т. е. с новым более сильным условием на замены координат.) Теперь же мы можем ограничиться шестым порядком, как обычно и делают, правда ценой того, что простейшая алгебраическая форма для дается в виде

где К, вообще говоря, не равно нулю. Применение теорем о деформации показывает, что эта форма эквивалентна

но не обязательно

— совсем другому сечению катастрофы бабочки. (Этот результат отличается от результата для деформации к которой „касательно" в смысле, обсуждавшемся в § 6 гл. 8.) Линейность в исходных координатах, даже если она имеет под собой серьезные физические основания, не гарантирует линейности после замены координат, обеспечивающей отбрасывание членов порядка выше 6 по

Это частное исправление вида подходящего „общего члена деформации" не меняет тех критических показателей теории Ландау, которые мы до сих пор подсчитали (правда, этого нельзя сказать про все критические показатели, и мы пока еще не приступали к соответствующим вычислениям в методе ренормализационной группы). Но оно иллюстрирует деликатность тех вопросов, которые возникают у края „некритической области", где физическая интуиция перестает быть надежным советчиком в отношении определенности и трансверсальности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление