Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17 Нарушения симметрии

Заметим, что хотя наши потенциалы всегда имеют определенную симметрию, отдельные решения при задачи минимизации не обязаны ее сохранять. Таким образом, система, могущая пребывать в том или другом состоянии минимума (рис. 14.17), „нарушает" симметрию. (В случае когда становятся важными флюктуации, так что система не пребывает в состоянии минимума, соответствующее утверждение усложняется.) Однако симметрия не теряется в задаче минимизации — множество минимумов все еще обладает ею. Мы можем сказать, что симметрия задачи „раздробилась" в симметрию множества решений, обладающих ею лишь коллективно (подобно Национальному парку), а не

индивидуально (подобно Королевскому парку Нью-Форест). Это часто называют „спонтанным нарушением симметрии", но нам представляется полезным сохранить термин „нарушение" для тех членов, которые полностью устраняют симметрию, таких, как например, магнитное поле (в модели Вейсса) или смещение в сторону от оси (в машине Зимана). Такие члены мы будем называть членами, нарушающими симметрию.

Мы предполагали повсюду в этой главе, что на область допустимых состояний не налагается никаких ограничений (типа некоторой константы). Если бы в машине Зимана из гл. 1 (рис. 1.1) имелся ограничитель, не дающий В подниматься выше, чем О, то поведение машины стало бы совсем иным! Такие ограничения могут возникать в задачах с термодинамическими потенциалами, и это приводит к катастрофам с ограничениями, которыми мы займемся в § 7 гл. 16. В примере из лазерной физики, упоминаемом в конце этого параграфа, имеется линия „фазовых переходов второго рода" (типа показанной на рис. 16.9(c)), в точках которой обращаются в нуль лишь первые, но не вторые и не третьи производные. Условия на более высокие производные для струи, подвергаемой деформации, заменяются условием „расположения на границе". Существование границы математически более устойчиво, чем наличие симметрии; оно не может быть разрушено малыми возмущениями. Однако у Томпсона [137а] при получении формулировки соответствующей задачи теории катастроф с ограничениями используется замена переменных, существующая лишь в силу предположенной круговой симметрии, что делает исходную задачу вырожденной, если только эта симметрия не точна. (Как и в § 13 предыдущей главы, допущения, принятые с целью упростить суммы, усложняют задачу!) Если к гамильтониану, имеющему лишь конечные симметрии рассматриваемой решетки, добавляются члены высшего порядка, то возникает проблема конечной определенности; всё что пока можно сказать, — это что омбилические катастрофы, связанные с действием разбивающих симметрию членов, приводят к очень запутанной картине поведения, которая лишь в общих чертах близка к тому, что описывается моделью Томпсона.

Всё же круговая симметрия может реально с прекрасной точностью поддерживаться физикой явления. Звёзды из предыдущего параграфа обладают ею в пространстве перед бифуркацией; и даже затем они обладают симметрией, которая поворачивает их на 180°, с опережением на полпериода, и которая оказывается вполне устойчивой по

физическим причинам, обеспечивая в свою очередь устойчивость четной бифуркации это два варианта одной и той же формы, различающиеся лишь поворотом).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление