Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14 Структурная устойчивость ренормализации

Интересно, что анализ исчезновения упомянутой выше критической области приводит к семейству дифференциальных уравнений, которое не является структурно устойчивым (в смысле Андронова — Понтрягина). Мы не рассматривали общих динамических систем, но мы можем сейчас последовать за Тулузом и Пфёти [136] и обсудить в описательных терминах следующую систему:

Рис. 14.12. (а) „Обмен устойчивостью" между гауссовской неподвижной точкой и нетривиальной неподвижной точкой При гауссовская неподвижная точка более устойчива, чем нетривиальная. обе точки совпадают. При более устойчива нетривиальная неподвижная точка. (Ь) Изображение „в профиль“ обмена устойчивостью, представленного в части (а) рисунка. По Тулузу и Пфёти [136].

Эти уравнения управляют эволюцией физических параметров при изменении масштаба — размерность, и с — положительные константы). Соответствующие векторные поля (для различных не будут градиентами никаких функций, но специалист по динамическим системам сразу преобразует их в градиентные. На рис. 14.12 (взятом из книги Тулуза и Пфёти [136], стр. 128—129) показаны эти градиентные поля и функции, градиентами которых они являются; случай, когда „гауссова неподвижная точка" более устойчива, отвечает пригодности теории Ландау критических показателей. Связи между седлами на рис. 14.12(a) (неустойчивые, как мы видели в § 5 гл. 11) в действительности незаконные и не отвечают данным уравнениям. Упомянутая структурная неустойчивость — это неустойчивость однопараметрического семейства, топологически соответствующего (как можно понять из рис. 14.12(b)) градиентам семейства

Если оставить в стороне не зависящую от морсовскую часть в -направлении, то это — в точности то же самое нетрансверсальное семейство, которое мы изучали в § 6 гл. 8. Добавление малого члена к этому семейству (или малой константы ко второму из исходных уравнений) полностью устранит бифуркацию при и создаст две отдельные катастрофы складки при На рис. 14.13 представлена эволюция неподвижных точек при изменении для различных координата не показана.

Рис. 14.13

Нам не удалось выяснить, имеются ли физические причины для постоянного появления неподвижной точки в начале (при этом условии семейство становится структурно устойчивым), Если добавление возмущающего члена изменяющего картину в сторону рис. 14.13(a) и (с), не может быть физически исключено, эти результаты представляли бы физический интерес. Если нет, то все равно очевидно, какую важную роль теория бифуркаций векторных полей (старшая сестра теории катастроф) может сыграть в изучении математических явлений, возникающих в этой области физики, и помимо тех аспектов, которые обсуждались выше.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление