Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Группа перенормировок

После того как найдено то, что надо интегрировать, какой следующий шаг? Применяется тот же прием, что и в гл. изучение асимптотического поведения. Там метод состоял в рассмотрении все более коротких длин волн, так что колебания в пределе становились ненаблюдаемыми; здесь он состоит в том, чтобы брать все большую единицу длины (так что каждому данному расстоянию приписываются всё меньшие числа), с соответствующим влиянием на флюктуации. В обоих случаях цель не столько в том, чтобы найти предел, сколько в том, чтобы изучить характер приближения к нему; отступая от него немного назад, мы получаем подтверждаемую экспериментально картину того, что „действительно происходит". Метод изменения масштаба, используемый здесь, известен как метод ренормализационной группы, или группы перенормировок. Термин „перенормировка" пришел из квантовой теории поля, где перенормировки были впервые применены для решения куда более волнующих проблем, чем получение показателя 1/3 вместо таких как предсказываемая теорией бесконечности масса покоя (вроде бесконечных интенсивностей в геометрической оптике). Появление слова „группа" объясняется тем фактом, что операции по изменению масштаба, вообще говоря, образуют полугруппу. (Для гладких моделей, описанных выше, они действительно образуют группу, но применительно к детализованной статистической модели замена масштаба сопряжена с „забыванием" некоторых тонких подробностей, которые не восстанавливаются при обратной замене.) Аналогичный язык используется в квантовой теории поля.

Мы не можем входить в технические тонкости теории группы перенормировок, которые подчас неожиданны (например, размерность пространства становится непрерывной переменной, меняющейся от —2 до ). Очевидно, было бы желательно доказать, что асимптотическое поведение указанных интегралов инвариантно относительно диффеоморфизмов описанного выше типа, или хотя бы доказать инвариантность таких предсказываемых теорией величин, как критические показатели. (Если они не инвариантны, то этот факт сам по себе интересен и довольно удивителен.)

В целом намеченная тут программа, пожалуй, труднее, чем аналогичная теория, представленная в гл. 12, которая является плодом нескольких лет работы квалифицированных специалистов — математиков и физиков в области, где диалекты этих двух племен ближе друг к другу, чем обычно. Если предыдущее обсуждение удалось нам хотя бы

настолько, чтобы быть скорее верным, чем неверным, в отношении физики и математической формулировки подхода с трансверсальностью, — и то это больше удача, чем свидетельство широты наших познаний. Но мы совершенно уверены, что главное утверждение, состоящее в том, что соображения теории катастроф неявным образом, но неотделимо замешаны во всех теориях фазового перехода, верно. (Даже аналитические решения для точных моделей, чтобы они представляли физический интерес, должны обладать некоторой устойчивостью относительно малых изменений характера взаимодействия по сравнению с предположенным.) Дело лишь выиграет, если их использование станет явным и точным.

По аналогии с анализом того, насколько близко в каустике можно без опасений применять геометрическую оптику, для фазовых переходов имеется критерий Гинзбурга (см. Тулуз и Пфёти [136]), говорящий, насколько близко к фазовому переходу применима теория Ландау, и дающий критическую область, где она неприменима. Довольно удивительно, что для размерностей больших четырех эта область исчезает, так что теория Ландау становится точной, по крайней мере в отношении критических показателей, для семейства термодинамических потенциалов типа сборки. Для катастрофы бабочки, или трикритической точки, критическая размерность равна 3. Наше физическое пространство, таким образом, оказывается в этом случае на пороге применимости. Критические размерности для высших катастроф (сюда имеют отношение лишь те из них, для которых функции из рассматриваемой деформации обладают строгим минимумом), по-видимому, еще не подсчитывались.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление