Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Производная как касательная

В этом параграфе мы сосредоточим внимание на следующем вопросе: каким должно быть разумное и полезное определение производной от функции

Напомним, что для функции мы определяем ее производную как функцию (иначе и более традиционно обозначаемую через для которой

при условии, что предел существует. (Мы пишем здесь вместо так как эта запись приводит к более ясным последующим обозначениям.) Однако это определение не переносится непосредственно на многомерный случай. Прежде всего заметим, что х и берутся из лежат и правая часть (3.1) потребовала бы от нас умения делить вектор из на вектор из чего нельзя сделать никаким осмысленным образом. Даже если бы нам и удалось как-то с этим справиться, предел всё равно мог бы не существовать даже в случаях, где производная заведомо должна существовать, — всё зависит от направления, по которому приближается к 0. Например, пусть

Тогда

Это означает, что предел должен был бы равняться одновременно 1 и 2 — явная чепуха.

Вместо того чтобы пытаться обобщить формулу (3.1), вернемся к основам. Геометрически значение в точке х выражает наклон касательной к графику в точке (рис. 3.1). Полезно временно перенести начало координат в точку поскольку тогда касательная будет графиком линейной функции как прямая,

проходящая через начало. Фактически касательная дает наилучшее линейное приближение к Измерить, насколько хорошо приближение, можно, сравнив

для малых (см. рис. 3.1). Оказывается, всё, что нужно, это чтобы

стремилось к 0 быстрее, чем (мотивировка — рис. 3.3, который мы обсудим в свое время); иначе говоря, ошибка в приближении с помощью должна быть «меньшего порядка, чем Точнее, надо, чтобы

при

Рассмотрим теперь функцию Мы можем нарисовать ее график в он выглядит как рельеф местности, как на рис. 3.2. Если этот график достаточно „гладок" в точке то в этой точке будет существовать касательная плоскость к нему. Снова (после переноса начала) эта плоскость служит графиком некоторого линейного отображения X: и ее касательность выражается в том факте, что

стремится к нулю быстрее, чем т. е.

Теперь должно быть ясно, как нужно обобщить эту формулировку на случай более высоких размерностей: надо найти линейное отображение, наилучшим образом аппрок-

Рис. 3.2

симирующее рассматриваемую функцию (геометрически оно отвечает касательной гиперплоскости), причем в качестве определения „наилучшей аппроксимации" использовать (3.2).

Итак, мы говорим, что функция дифференцируема в точке если существует линейное отображение К: для которого

Если такое линейное отображение К существует, то оно единственно (мы отложим ненадолго доказательство этого факта). Мы называем его производной и пишем

Покажем прежде всего, как переинтерпретировать на этом языке понятие обычной производной. Пусть имеет производную и пусть для фиксированного х

Мы утверждаем, что отображение есть производная в точке х в новом смысле. Действительно,

и так как при то и всё это выражение стремится к нулю, как и требуется.

Другими словами: каждое линейное отображение имеет вид для соответствующего и значение отвечающее производной в нашем новом смысле, и есть как раз значение производной в х (в старом смысле). Лишь благодаря тому совпадению, что линейные отображения естественно отвечают вещественным числам, можем мы заменять линейное отображение вещественным числом

Следующее понятие облегчает обращение со всеми этими вещами. Будем говорить, что имеет меньший порядок, чем и писать

если

Формулу (3.3) из определения производной можно тогда записать в эквивалентном виде

Это надо представлять себе так:

Если и — такие функции, что и если то Используя этот факт, мы можем теперь доказать единственность производной. Допустим, что наряду с (3.4) выполняется соотношение

Вычитая его из (3.4), получим

Но ясно, что линейное отображение, являющееся о должно быть нулевым. Действительно, пусть 0 линейно и Тогда для любого фиксированного

т. е.

или

Но фиксировано, значит, Следовательно,

Так как отображение линейно и является то по доказанному т. е. Тем самым единственность доказана.

Геометрически ясно (из рассмотрения подобных треугольников), что разность между двумя различными гиперплоскостями не может быть Это иллюстрируется рис. 3.3.

Будем говорить, что функция дифференцируема, если она дифференцируема в каждой точке Ее производной назовем функцию значение которой в точке х есть линейное отображение, определенное выше. Если обозначить через

множество всех линейных отображений из то мы имеем

Рис. 3.3

Это показывает, что достаточно сложный объект. В случае мы можем отождествить с и считать, что Но в общем случае не является отображением Таковым и вдобавок линейным является его значение в каждой точке х.

Для операции взятия производной справедлив ряд стандартных правил, которые мы приведем здесь без доказательства. Доказательства можно найти у Спивака 18].

(a) Если функция постоянна, то .

(b) Если функция линейна, то для всех х.

(c) Если функция задана как

то она дифференцируема, если и только если дифференцируема каждая из функций и в этом случае

(d) Если , то

(e) Если дифференцируема в x, дифференцируема в то композиция (определяемая формулой также дифференцируема в х и

Эта формула называется цепным правилом (в „классическом" дифференциальном исчислении его обычно именуют „правилом дифференцирования сложной функции").

Имеются также правила дифференцирования произведения или частного для функций которые аналогичны обычным правилам для функций

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление