Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12 Статистические суммы

Соответственно тому как наш общий параметр из §§ 3—7 обитал в конечномерном пространстве, скажем в мы теперь имеем пространство функций отображающих множество X пространственных положений в нашем куске вещества в Е. Обобщенный термодинамический потенциал представляет собой функцию и минимизация Ф отвечает максимизации плотности вероятности на задаваемой с точностью до нормирующей константы функцией (называемой „статистической суммой")

(см. замечание в скобках в конце § 4). Но теперь нас интересует не самое вероятное М, а среднее М:

и аналогичные интегралы, дающие среднюю корреляцию и т.д. Заметим, что М представляет собой точку из , т. е.

функцию X Е, и может быть более явным образом записано как

В тех случаях, когда Ф выводится из некоторой квантово-статистической микромодели, мы можем рассматривать такой интеграл как описывающий своего рода суперпозицию полуклассических состояний, в духе формулы (12.4), хотя, поскольку мы обсуждаем не колебания, а флюктуации, существенно квантовомеханическая способность к интерференции различных состояний вещества здесь „отфильтрована". (Интересно было бы поразмышлять о возможности „объединенного" асимптотического анализа, в котором фазовые переходы трактуются как каустики „волн вещества", из которых всё состоит.) Но какого же вида должно быть Ф? От этого, а также от того, как Ф меняется с температурой, давлением, внешним магнитным полем и т. д., зависят все представляющие физический интерес величины.

Дело значительно упрощается, если предположить, что и прочие родственные величины могут быть получены интегрированием не по всему X, а лишь по некоторой окрестности точки другими словами, что взаимодействия между различными точками локальны (являются близкодействующими). Таким образом, мы предполагаем, что для малой окрестности точки

(Мы должны ввести новый функционал поскольку исходный, Ф, определен лишь на функциях, областью определения которых служит всё X.) Но все функции М, за исключением принадлежащих множеству бесконечной коразмерности (§ 7 гл. 8), -определенны в х, каждая при своем Фактически тщательный анализ с точки зрения теории меры тех утверждений теории особенностей, где фигурируют слова „почти все“, дал бы конечную верхнюю границу, скажем К, для числа определенности в х функций, вносящих вклад в интеграл. Поэтому с точностью до диффеоморфизма

рестности если эта окрестность достаточно мала, то зависит лишь от -струи

а пространствотаких струй конечномерно. Мы можем, следовательно, положить

где — размерность (физического) пространства, в обозначениях гл. 8. Так как „почти все“ функции М морсовские, наверное, можно взять Фактически в большинстве физических вычислений берут

Следующий шаг состоит в том, чтобы построить тейлоровское разложение для и применить соответствующие результаты о трансверсальности и определенности, как мы это делали для глобальных термодинамических потенциалов в § 7. (Здесь нужны результаты несколько более тонкие, чем приведенные в гл. 8, так как использование соображений определенности для требует локальных диффеоморфизмов пространства которые должны быть индуцированы локальными диффеоморфизмами X. От последних, таким образом, требуется, чтобы они одновременно подправляли М вблизи вблизи . Доказательство в духе теоремы Тома об изотопии должно бы работать и здесь, но сослаться на какой-нибудь опубликованный результат пока как будто нельзя.) Фактически в большинстве физических изложений берут

где — некоторая полиномиальная функция от вообще говоря зависящая от параметров (конкретных вроде Р, Т, Н из §§ 1 и 2 или же абстрактных вроде А, В, С из теории Ландау, § 7). Определенность, трансверсальность и пр. здесь очевидны, если они имеются для и точно так же физические рассуждения из § 7 (с неформальным использованием трансверсальности и неявным использованием конечной определенности) могут быть применены и применяются к

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление