Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ФЛЮКТУАЦИИ И КРИТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

8. Классические показатели

Теория Ландау находит формы-архетипы для термодинамического потенциала с помощью метода, который сводится к варианту теории катастроф как таковой-, иначе говоря, с помощью математики, изложенной нами в гл. 7 и 8. (Однако без привлечения формального математического аппарата, описанного в этчх главах, имеется большой простор для математических ошибок в высших коразмерностях — с возможными последствиями для физики, см. § 18.) Другая ее главная составляющая как физической теории — это принцип, часто применяемый при работе с потенциалами, выведенными из рассмотрения детальных моделей: приближение среднего состояния наиболее вероятным, или, что эквивалентно, тем, которое минимизирует соответствующий потенциал. (Возможен более тонкий подход, при котором побочные пики вероятности, локальные минимумы потенциала, рассматриваются как метастабильные состояния, но нас это сейчас не касается.) Мы уже обсуждали такое приближение в контексте теории рассеяния и волновой теории (§ 3 гл. 12); обычно оно оказывается хорошим там, где

вероятность имеет резкий невырожденный пик, или, что в данном случае эквивалентно, там, где потенциал имеет резкий морсовский минимум. В термодинамике такие резкие пики обычны, как отмечается у Ландау и Лифшица [130], стр. 18:

„Если выделить в каком-либо газе участок, содержащий, скажем, всего 0.01 грамм-молекулы, то оказывается, что среднее относительное отклонение, испытываемое энергией этого количества вещества, от своего среднего значения составляет всего Вероятность же найти (при однократном наблюдении) относительное отклонение, скажем, порядка изображается чудовищно малым числом

Таким образом, указанным приближением часто можно пользоваться вполне безопасно.

Рассмотрим термодинамический потенциал для фазового перехода второго рода с архетипом катастрофы сборки, управляемый лишь двумя меняющимися „связями" (такими как Р и Т), к которому мы пришли в предыдущем параграфе:

Для него указанное правило дает как уравнение состояния

так и основания для выбора между конкурирующими слоями определенной тем самым поверхности. После подходящего преобразования правило „выбирай более глубокий минимум" в точности будет отвечать максвеллову правилу равных площадей всюду, где последнее уместно.

Каковы инвариантные относительно диффеоморфизмов предсказания теории? Одно состоит в том, что над множеством Максвелла, или кривой сосуществования, где два минимума функции имеют равные значения, мы должны получить что-то вроде параболы (рис. 14.10). Точнее, если мы продолжим кривую сосуществования через точку фазового перехода второго рода до некоторой гладкой кривой (а то, что это возможно сделать, является фактом, инвариантным относительно диффеоморфизмов) и параметризуем ее с помощью параметра а, то в архетипичной форме множество точек скачка выразится как

Рис. 14.10

средственной близости от вырожденных особенностей она уже перестает годиться. Свет на этот вопрос пролило точное решение мало-помалу увеличивающегося начиная с 40-х годов числа детализированных статистических моделей упорядоченного вещества (многие из которых служат вариациями на тему так называемой модели Изинга“); полученные в этих моделях значения критических показателей согласуются с экспериментом, а не с теорией Ландау. Не входя в детали статистики микросостояний, давайте рассмотрим, что тут происходит с термодинамической точки зрения.

Как мы это обсуждали в § 16 гл. 13, возмущение системы, которая стремится минимизировать свою функцию энергии, вызывает колебания этой системы, постепенно затухающие вследствие демпфирования. Вблизи морсовского минимума эти колебания можно с большой точностью считать простыми гармоническими с амплитудой, пропорциональной квадратному корню из энергии возмущения и обратно пропорциональной (как и период) собственному значению гессиана Ф, отвечающему рассматриваемому собственному направлению. По мере того как гессиан приближается к вырождению в этом направлении, та же самая возмущающая сила ведет к более широким и медленным колебаниям, которые соответственно и дольше затухают. Аналогичные эффекты наблюдаются для электромагнитных полей в некоторых кристаллах при приближении к фазовому переходу; колебания, которые замедляются, называются тут мягкими модами и имеют свою большую и растущую литературу. (К числу этих эффектов относится, в частности, эффект уменьшения скорости света в кристалле.)

Мы не можем утверждать в буквальном смысле слова, что, скажем, вещество вблизи точки фазового перехода второго рода газ/жидкость совершает затухающие простые гармонические колебания. Но в общем картина очень похожая; при температуре, для которой, согласно наиболее точному уравнению состояния, различия между жидкостью и газом уже не существует, оно отходит от состояния минимума термодинамического потенциала на непренебрежимое „расстояние" и на непренебрежимые отрезки времени. Образуются маленькие капельки с большей плотностью (за счет пониженной плотности рядом — вещество сдвигается в обе стороны от поверхности на рис. 14.4). Они вновь исчезают — их состояние даже не равновесное, тем более не устойчивое; однако они образуются достаточно часто и плотно и выживают достаточно долго, чтобы повлиять на макроскопические свойства вещества. На фото 16 представлено явление критической опалесценции — рассеяние света на

ности, которая лежит над внутренностью острия (кривая в этом архетипе). Как та, так и другая имеют квадратичное касание с осью а значит, то же верно и для любой кривой, зажатой между ними, независимо от того, аналитична она в О или нет.

Предположение Шульмана [135] допустить произвольные негладкие преобразования (с помощью которых показатели можно менять ad libitum вводит в теорию негладкие потенциалы. Это подрывает самую основу рассуждений с трансверсальностью, неважно, являются ли они неявными, как при обычном изложении теории Ландау, или явными и формализованными, как в теории катастроф. Мы дали объяснение того, почему некоторые явления типичны среди достаточно гладких функций. Что же касается непрерывных функций, то на пространствах таких функций существуют достаточно естественные и важные меры, позволяющие сказать, что „почти все“ непрерывные функции нигде не дифференцируемы. Значит, почти все функции не имеют производных, не имеют разложений Тейлора и дело с самого начала не может сдвинуться. (Теории, использующей типичные гладкие потенциалы, определенные в пространстве подлинных физических переменных, связанных с очевидными переменными негладким, но фиксированным преобразованием — хорошо бы выведенным из чего-нибудь, — возможно, удалось бы отвести это выражение и предсказать какие-то определенные показатели. Но насколько нам известно, никто еще не построил такой теории.)

В любой физической теории центральным является вопрос о том, какие допускаются преобразования. Допущение, как это предлагает Шульман [135], новых преобразований (если только оно не производится с величайшей осторожностью в качестве эвристического приема, как в гл. 11) столь же запутывает дело, как и попытки рассмотреть их в недостаточном количестве (Белл и Лейвис [133]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление