Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Теория Ландау

Приведенные примеры проясняют причины чрезвычайного сходства самых различных моделей самых различных фазовых переходов. Этими причинами служат результаты о

„типичности" из гл. 7 и результаты об определенности и деформациях из гл. 8. Они в значительной мере ответственны за успех теории Ландау, в которой предполагается, что рассматриваемый минимизируемый термодинамический потенциал Ф является достаточное число раз дифференцируемой функцией от, скажем, давления Р, температуры Т и еще одной величины ] (плотность или намагничение в предыдущих примерах), изменение которой описывает изменение фазы вещества. Обычно берется одномерной, если только соображения симметрии не требуют противного. Ее часто называют степенью упорядоченности, поскольку, скажем в примере с намагничением, она измеряет степень параллельности направлений намагничения в различных точках. Потенциал затем разлагается в ряд

Представляют интерес точки равновесия, где Ф минимизируется, поэтому, выбирая начало по в одной из таких точек, мы можем допустить без потери общности, что Из устойчивости морсовских функций (§ 5 гл. 4) вытекает, что если в рассматриваемой области А положительно, то ничего интересного не происходит. (В книгах по физике обычно ссылаются на более слабый результат о достаточных условиях второго порядка, гарантирующих минимум или максимум, которого в данном случае вполне хватает.) Если А всюду отрицательно, то вещество не останется в рассматриваемом состоянии равновесия по причине его неустойчивости. Нас интересует, таким образом, что происходит в точках, где А меняет знак и, значит, обращается в нуль. Если в такой точке В не нуль, то Ф имеет точку перегиба — снова неустойчивое равновесие (хотя и в меньшей степени, чем для максимума), и вещество „скатится" в направлении падения потенциала Ф к некоторому совсем другому значению Следовательно, в случае непрерывного изменения состояния (определяющее свойство фазовых переходов второго рода в отличие от переходов первого рода вроде кипения, когда плотность меняется скачком) мы должны иметь Чтобы в интересующей нас точке имел место минимум, мы должны потребовать выполнения условия С в этой точке (и, значит, по непрерывности, в некоторой ее окрестности).

Предыдущее представляет собой пересказ стр. 491—492 из книги Ландау и Лифшица [130]. Теперь момент прямо процитировать ее (стр. 493):

„Если же В не обращается тождественно в нуль [по соображениям симметрии], то точки перехода определяются из двух уравнений В этом случае, следовательно, точки непрерывного фазового перехода могут быть лишь изолированными точками."

Отметим неявное использование соображения трансверсальности в последней фразе. Существуют гладкие функции А и В, множеством общих нулей которых служит какое угодно замкнутое множество в -плоскости и это делает возможными весьма странные объекты (см. Ньюмэн [134]). Но в типичном случае отображение

трансверсально к и поэтому его нули изолированны. (В действительности, поскольку условие трансверсальности здесь в точности то же самое, что и условие из теоремы об обратной функции, мы видим, что, более того, А и В могут быть использованы локально как гладкие координаты в -плоскости.) Это служит иллюстрацией к нашей общей точке зрения, что соображения трансверсальности не являются лишенным физического смысла изобретением математиков; тот смысл, в котором в теореме Тома используются слова „почти все", в точности совпадает со смыслом, в котором многие физики пишут „все" — и пишут по тем же самым причинам. И дело не только в том, что честность — лучшая политика в этическом плане, но систематизация таких причин в рамках теории трансверсальности должна быть столь же плодотворной в течение долгого времени для различных наук, какой оказалась систематизация рассуждений, связанных с симметрией, в рамках теории групп.

Аналогичные соображения трансверсальности показывают, что (в отсутствие симметрии) можно в типичном случае использовать в качестве локальных координат в -плоскости; тогда Ф получает выражение

Если функция Ф гладкая, то теоремы гл. 8 гарантируют существование гладкой замены координат, приводящей ее (с точностью до сдвигающей функции к виду

Конечно, если есть другие «управляющие параметры», сверх Р и Т, или же имеются симметрии, то возможны катастрофы более высокого порядка. Принимая во внимание лемму расщепления и используя дальнейшие соображения трансверсальности (как в § 2 гл. 7), мы можем освободиться от начального предположения (явного или неявного, где как), что одномерно, хотя это утверждение требует уточнения при наличии симметрии. Сумма

независящих от А и В членов не влияет на физическую картину.

Итак, мы можем объяснить емкость теории Ландау, в которой берут общее тейлоровское разложение и, усекая его там, где это представляется нужным (причем в случае одной переменной интуиция является превосходным советчиком в вопросах определенности!), получают всю инвариантную относительно диффеоморфизмов информацию, содержащуюся в моделях, снабженных многочисленными физическими деталями. Отсюда и универсальность результатов.

В предыдущих рассмотрениях мы предполагали отсутствие симметрии; случай симметрии мы разберем в §§ 15— 20.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление