Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6 Явные потенциалы

Достаточно общих рассуждений, перейдем теперь к конкретным термодинамическим потенциалам — функциям состояния данного „куска“ вещества, меняющимся в зависимости от того, какие переменные приняты за „независимые". Например, пусть в случае уравнения ван дер Ваальса нас интересует отыскание плотности по данным давлению и температуре. В этом случае подходящим термодинамическим потенциалом будет свободная энергия Гиббса; он был вычислен как бы специально для нас в принятых выше обозначениях Беллом и Лейвисом [133], которые дали достаточно подробное описание относящейся сюда термодинамики. С точностью до сдвигающего члена (который, как они замечают, не оказывает влияния на фазовый переход) этот потенциал задается формулой

Заметьте, что оно совершенно отлично от простейшего, алгебраического потенциала

дифференцирование которого дает уравнение состояния

из § 1, хотя Ф и строится как раз для того, чтобы дать это уравнение. Максвеллово правило равных площадей не отвечает минимизации Ф, но в точности соответствует, как показывают Белл и Лейвис, выбору абсолютного минимума Ф. Чтобы увековечить память об этом соответствии, Том в [1] окрестил „выбор абсолютного минимума" принципом

Максвелла, в отличие от принципа максимального промедления.

Белл и Лейвис заключают отсюда, что поведение „жидкости ван дер Ваальса“ (а также, кстати, жидкостей Вертело или Дитеричи) не отвечает катастрофе Римана — Гюгонио. Это верно, однако, лишь если „отвечает" понимать в смысле „соответствует при простейшем алгебраическом преобразовании, переводящем уравнение состояния в уравнение поверхности сборки". Но это неверно для случая произвольных гладких замен переменных. Если мы разложим Ф в ряд Тейлора до пятого порядка, то получим

Считая параметрами деформации, мы видим, что Ф является деформацией для

Но струя сильно 4-определенна, согласно элементарному доказательству из § 4 гл. 4. Легко проверяется, что Ф служит универсальной деформацией для , значит, по теореме 8.6, Ф эквивалента вблизи начала стандартной деформации

Мы можем сказать и больше. Рассмотрим замену

Это диффеоморфизм для с обратным

Подставляя (14.1) в разложение для Ф и оставляя члены пятого порядка по у и первого по и получим

5-струя потенциала для имеет вид Применим теперь теорему 8.7. Как легко проверить, мы находимся в случае (а) при Значит, данная деформация сильно эквивалентна деформации

которая во введенных выше у-координатах в точности принимает вид

Это снова — стандартное семейство потенциалов сборки; если мы положим

то получим выражение

Анализ влияния различия между а и членом

в прежнем «простейшем» выражении может пролить свет на то, что не сохраняется при сильной эквивалентности (и это рекомендуется проделать в качестве упражнения читателям, интересующимся различными специальными свойствами, которые не обязательно сохраняются). К числу свойств, которые сохраняются, относится направление острия в точке сборки, а тем самым и направление, в котором множество Максвелла (или „кривая точек фазового перехода первого рода") выходит из точки (0, 0, 0): по определению сильная эквивалентность сохраняет выходящие из начала направления. (Однако к этому числу не относятся такие вещи, как кривизна множества Максвелла, которая зависит от более высоких производных по и для ее сохранения потребовалась бы еще более сильная эквивалентность, теоремы о которой могут быть доказаны теми же методами.) В нашем случае мы уже знаем это направление, так как оно зажато между кривыми складок проекции алгебраически простого многообразия катастрофы, заданного вандерваальсовым уравнением состояния. В других случаях мы можем найти его из соображений симметрии. Но когда термодинамический потенциал выводится

с помощью физических рассуждений более глубоких, чем подбор эвристического уравнения состояния, его поверхность критических точек может оказаться практически неописываемой в замкнутом виде, и такую информацию о направлении придется получать из разложения. В особенности это касается высших особенностей, где может быть несколько важных направлений и где лишь описанные нами методы указывают систематический путь к их уверенному выявлению.

Резюмируем: не только всю информацию, инвариантную относительно диффеоморфизмов, извлекаемую из вандерваальсова уравнения состояния, но также и всё, что вытекает из полной термодинамической информации о жидкости ван дер Ваальса, можно получить, изучая потенциал катастрофы сборки

Масса информации, представляющей физический интерес, оказывается на деле в этой теории инвариантной относительно диффеоморфизмов и еще большая часть информации — инвариантной в смысле сильной эквивалентности. Аналогичные замечания справедливы и для жидкостей Вертело и Дитеричи, а также для различных моделей фазового перехода ферромагнетик/парамагнетик, упомянутых в § 2.

Между прочим, проблемы деформации и устойчивости для потенциала Ф и для уравнений состояния эквивалентны, лишь когда у нас имеется только одна существенная переменная. Но если их две, то становится существенно -значным отображением и среди таковых имеет более высокую коразмерность, чем Ф среди -значных, поскольку имеет соседей, которые вовсе не являются градиентами (см. caveat в конце § 9 гл. 4). Тем самым вопрос об устойчивости звучит по-разному в случае коранга в зависимости от того, должны ли в данной задаче наши уравнения быть эквивалентными критичности некоторой вещественнозначной функции или это не обязательно. Здесь речь идет совсем не о том, можем ли мы явно построить такую функцию. Одно ее теоретическое существование или несуществование будет сказываться в количественных вопросах физической устойчивости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление