Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5 Преобразование Лежандра

К несчастью, даже в наиболее математических книгах по термодинамике, таких как Кэллен [127], путают условие того, чтобы можно было провести указанную выше трансформацию задач экстремизации (в нашем примере условие, чтобы производные нигде не обращались в нуль в отличие от своих сужений на специальные кривые; аналог этого условия в термодинамике выполняется почти универсально) с различными гораздо более сильными условиями.

Рис. 14.9

Физики вообще хотят, чтобы всё, что они рассматривают, было функцией от всего остального, — желание, которое они удержали от математики девятнадцатого столетия. (Математики сдвинулись с этого — первый шаг состоял в замещении „многозначных функций” римановыми поверхностями, но физики почти так же нескоро узнают о новых математических точках зрения, как математическая община осознает новую физику. Имеются достойные уважения исключения, даже и теперь, но когда мы увидим нового Эйлера или Пуанкаре?) Правда, они, конечно, идут впереди вычислительных социологов, многие из которых, составляя свои программы для ЭВМ, исходят из того, что всё есть линейная функция от всего остального.

На рис. 14.9(a) мы отметили точки, где имеются эквивалентные экстремумы, при наших ограничениях; аналогичным образом на рис. 14.9(b) показаны точки в являющиеся критическими для функции

ограниченной на кривые, на которых функция

принимает постоянное значение или, эквивалентно, точки, где функция ограниченная на поверхность имеет особенность. В области положительных имеется единственное значение х, максимизирующее или Р при фиксированном значении или аналогичное верно для минимизации или при фиксированном или Р. Это служит поддержкой той точке зрения, что является функцией от или (соотв. от р или Р), причем в указанной области неособой, так что х в качестве координаты можно заменить на или соответствующую часть (В этом именно и состоит теория „преобразований Лежандра“.)

Очевидным образом этот подход не работает вблизи начала, представляющего собой точку наибольшего интереса в термодинамическом контексте. Одна из совсем не маленьких услуг, которые язык дифференциальной топологии (включая теорию катастроф) может оказать термодинамике, — это предложить ей формализм, не отказывающий в

точках наибольшего интереса. (У нас здесь нет места для того, чтобы развить этот формализм до систематического исчисления; см. по этому поводу Дюбуа и Дюфур [132а] и Экланд [132b].) Конечно, физическое образование дает большой опыт работы с вычислениями, успешными несмотря на отказывающий формализм, и многие физики будут рассматривать такое предложение как образец наглой и бессмысленной мистификации. Для человека, проведшего всю жизнь стоя в гамаке, действительно может оказаться трудным приспособиться к кровати.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление