Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4 Трансформации принципа максимума энтропии

Удобно проиллюстрировать такие трансформации на следующем абстрактном примере. Рассмотрим две функции на плоскости (с координатами

На рис. 14.7 показаны линии уровня для для ими будут просто прямые Ни ни нигде не имеют критических точек, так как тождественно, и ни одна из этих производных нигде не обращается в нуль. Но ограничение на кривую и ограничение на кривую имеют критические точки. Более того, легко видеть, что эти точки совпадают. [Доказательство. Если функция вырожденна в то производная должна обращаться в нуль на всех векторах, касательных к Но это в точности те самые векторы, на которых обращается в нуль поскольку Согласно § 3 гл. 2, два линейных отображения с одинаковым ядром являются скалярными кратными друг друга, так что для некоторого „лагранжева множителя" Поскольку это условие симметрично относительно и при мы видим, что служит критической точкой для если и только если она является таковой для где

Далее, легко видеть в этом примере, что имеет локальный минимум на кривой в точности там, где имеет локальный максимум на соответствующей кривой Эта теория прекрасно изложена у Спивака [132], том 4, стр. 428, где дано ее обобщение, показывающее, что „максимизация площади, заключенной в данном периметре" (рис. 14.8(a)), - это то же самое, что и „минимизация периметра, охватывающего данную площадь" (рис. 14.8(c)), а именно и то и другое дает круг (рис. 14.8(b)).

Рис. 14.8

Бесконечномерная природа пространства кривых в рассмотренном примере не чужда термодинамике, которая также становится бесконечномерной, как только мы уделим внимание локальным вариациям состояния (даже без всякого обращения к микрофизике).

Итак, задачи максимизации и минимизации при ограничениях допускают много эквивалентных представлений в терминах экстремизации различных величин, подчиненных различным ограничениям. (Иногда математически может оказаться удобнее решить задачу экстремизации для данных физических ограничений, экстремизируя другую величину, подчиненную ограничениям, которые физически не могут быть реализованы.) Поэтому принцип максимизации энтропии, лежащий в центре термодинамики, часто может быть с пользой представлен в виде принципа минимизации некоторой другой функции (даже, быть может, такой, которая, подобно энергии изолированной системы, физически не может изменяться) на множестве состояний с одной и той же энтропией.

Если на рис. 14.7 использовать х как координату на кривых то станет функцией от х (меняющейся с с); беря х в качестве координаты на кривых мы получим, что станет функцией от х (меняющейся с Аналогами этих функций, которые подлежат экстремизации по х, возникающими в термодинамике, являются энтропия (максимизируемая) и великое множество функций, которые нужно минимизировать (при ограничениях), как например, функция Гиббса, потенциал Гельмгольца и свободная энтальпия. Мы будем, как это принято, ссылаться на них всех вместе как на термодинамические потенциалы и обозначать произвольный такой потенциал через Ф. (Кстати, лежащие в основе вероятности, обсуждавшиеся в § 3, выражаются через эти потенциалы в виде в противоположность поскольку максимумы вероятности связаны с минимумами Ф и максимумами

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление