Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Ферромагнетизм

Рассмотрим теперь явление ферромагнетизма. При температуре более высокой, чем некоторая температура вещество может быть парамагнитным, при более низкой — ферромагнитным. Мы не желаем входить в физику этих терминов. Для наших целей здесь существенно то, что ферромагнитное вещество намагничено (обладает связанным с ним магнитным полем) даже в отсутствие внешнего поля. (Если все части некоторого куска вещества намагничены в одном направлении, то получается заметное суммарное поле. Примером служит обычный магнит.) Рассмотрим один из ранних подходов к описанию этого явления — модель Вейсса (1907 г.). Как и в случае уравнения ван дер Ваальса, мы опускаем физическую аргументацию (см. Хауг [129]) и обращаемся сразу к уравнению состояния

где Н — внешнее магнитное поле, приведенная намагниченность:

(напомним, что является (аналитическим) диффеоморфизмом — константы. Переход из одного состояния в другое происходит, когда температура Т проходит через точку Кюри Положим для краткости

так что уравнение примет вид

Но

где поэтому последнее уравнение можно переписать так:

или

При правая часть -определенна, согласно гл. 4 или 8. (В действительности она даже сильно -определенна, что вытекает из теоремы 8.1 или же из рассмотрения диффеоморфизма, построенного в теореме 4.4.) Обычным образом применяя теорему 8.7, заключаем, что деформация

сильно эквивалентна своему усечению до порядка 3, так что существует замена переменных

с тождественной производной в , для которой

Рис. 14.6

Заметим, что поскольку нас интересуют нули, а не минимумы этой функции при различных А, В, мы не можем отбросить „переменную константу", обсуждавшуюся в § 6 гл. 8, и должны включить в деформацию как А, так и В, чтобы обеспечить трансверсальность. (Алгебраический критерий из теоремы 8.6 следует при этом модифицировать, заменив на Так как мы обращаем внимание на значения, функция оказывается особой в двух отношениях — она имеет точку перегиба и принимает там значения 0; поэтому коразмерность этой особенности равна 2.) Это дает уравнение состояния в форме

или снова

Таким образом, уравнение Вейсса описывает не что иное, как поверхность сборки (рис. 14.6), с точностью до (не вполне определенного) диффеоморфизма с тождественной производной в точке Кюри. Любое свойство модели, инвариантное относительно таких диффеоморфизмов (как например, критический показатель, рассматриваемый нами в § 8), может быть особенно легко получено с помощью этого представления.

Аналогичные замечания применимы и к сходным теориям, в которых функция заменяется какими-нибудь другими, скажем функциями Бриллюэна

или функциями Ланжевена

поскольку в каждом из этих случаев имеется ненулевой кубический член.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление