2. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ
В этой главе мы изложим основные принципы дифференциального исчисления многих переменных, с подчеркнуто геометрической точки зрения. И на этот раз большинство читателей окажутся знакомыми с значительной частью материала в той или иной форме, однако скорее всего не в столь геометричной, как здесь. Мы предполагаем знание основ анализа функций одной переменной. Доказательства приводимых ниже результатов, как правило, опущены; их можно найти у Додсона и Постона [5] или у Спивака [8] (принятая в этих книгах точка зрения сходна с нашей) или во многих других стандартных руководствах.
Наиболее важный общий принцип, который выявляется в этой главе, состоит в том, что производная, понимаемая как наилучшее линейное приближение к данной функции, есть хорошо работающее приближение. Последующие главы дадут многократное подтверждение силы этого принципа.
1 Расстояние в эвклидовом пространстве
Наряду с линейной структурой
имеет метрическую структуру. Для х, у из
введем норму формулой
и определим расстояние между х и у как
Истоки этого определения лежат в теореме Пифагора. Это расстояние обладает основными свойствами, требуемыми от расстояния, а именно:
С помощью нормы мы можем распространить на многомерный случай такие понятия, как понятия предела и
непрерывности, заменив обычное абсолютное значение
в определениях для одномерного случая на норму
Мы предполагаем, что читатель знаком с соответствующими одномерными определениями. В качестве примера распространения указанного рода определим понятие предела для многомерного случая. (За подробностями и геометрической интерпретацией отсылаем к Додсону и Постону [5].)
Пусть
— некоторая функция. Мы говорим, что
стремится к пределу
при х, стремящемся к а, если для любого заданного
существует такое
что как только
мы имеем
Иначе говоря, если х выбрать достаточно близким к а (но не совпадающим с а), то
можно сделать настолько близким к К, насколько мы пожелаем. Мы пишем в этом случае
Функция
называется непрерывной в а, если
и непрерывной, если это условие выполнено для всех а
Непрерывность для нас будет менее важна, чем дифференцируемость, и именно при определении дифференцируемости мы в полную меру используем нормы; это определение более тонко и не получается автоматически переносом с одномерного случая.
Для последовательности
понятие предела при
определяется аналогичным образом. Далее, бесконечный ряд
называют сходящимся, если существует
в противном случае говорят, что он расходится.
Для
открытый шар с центром в х радиуса
определяется как множество
Подмножество
называется открытым, если для каждого
существует открытый шар с центром в х, целиком лежащий в X. Подмножество Y называется
Рис. 3.1
окрестностью точки х, если эта точка лежит в некотором открытом множестве X, содержащемся в Y. Говорят, что данное свойство выполнено локально в точке х (или вблизи
если оно выполнено для всех точек у из некоторой окрестности х.