2. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ

В этой главе мы изложим основные принципы дифференциального исчисления многих переменных, с подчеркнуто геометрической точки зрения. И на этот раз большинство читателей окажутся знакомыми с значительной частью материала в той или иной форме, однако скорее всего не в столь геометричной, как здесь. Мы предполагаем знание основ анализа функций одной переменной. Доказательства приводимых ниже результатов, как правило, опущены; их можно найти у Додсона и Постона [5] или у Спивака [8] (принятая в этих книгах точка зрения сходна с нашей) или во многих других стандартных руководствах.

Наиболее важный общий принцип, который выявляется в этой главе, состоит в том, что производная, понимаемая как наилучшее линейное приближение к данной функции, есть хорошо работающее приближение. Последующие главы дадут многократное подтверждение силы этого принципа.

1 Расстояние в эвклидовом пространстве

Наряду с линейной структурой имеет метрическую структуру. Для х, у из введем норму формулой

и определим расстояние между х и у как

Истоки этого определения лежат в теореме Пифагора. Это расстояние обладает основными свойствами, требуемыми от расстояния, а именно:

С помощью нормы мы можем распространить на многомерный случай такие понятия, как понятия предела и

непрерывности, заменив обычное абсолютное значение в определениях для одномерного случая на норму Мы предполагаем, что читатель знаком с соответствующими одномерными определениями. В качестве примера распространения указанного рода определим понятие предела для многомерного случая. (За подробностями и геометрической интерпретацией отсылаем к Додсону и Постону [5].)

Пусть

— некоторая функция. Мы говорим, что стремится к пределу при х, стремящемся к а, если для любого заданного существует такое что как только мы имеем Иначе говоря, если х выбрать достаточно близким к а (но не совпадающим с а), то можно сделать настолько близким к К, насколько мы пожелаем. Мы пишем в этом случае

Функция называется непрерывной в а, если и непрерывной, если это условие выполнено для всех а

Непрерывность для нас будет менее важна, чем дифференцируемость, и именно при определении дифференцируемости мы в полную меру используем нормы; это определение более тонко и не получается автоматически переносом с одномерного случая.

Для последовательности понятие предела при определяется аналогичным образом. Далее, бесконечный ряд

называют сходящимся, если существует

в противном случае говорят, что он расходится.

Для открытый шар с центром в х радиуса определяется как множество

Подмножество называется открытым, если для каждого существует открытый шар с центром в х, целиком лежащий в X. Подмножество Y называется

Рис. 3.1

окрестностью точки х, если эта точка лежит в некотором открытом множестве X, содержащемся в Y. Говорят, что данное свойство выполнено локально в точке х (или вблизи если оно выполнено для всех точек у из некоторой окрестности х.