Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДИНАМИКА

16 Мягкие моды

Переходя от математических утверждений к физическим замечаниям о выпучивании, мы принимаем — как это обычно делается о работах по упругому выпучиванию — допущение о справедливости принципа максимального промедления. Для многих целей эта аппроксимация прекрасно работает, хотя ни при какой динамике, градиентной или любой другой, она не будет точной. (Лучше всего она работает для очень медленных — квазистатических изменений нагрузки.) Но если бы мы стали трактовать функцию энергии, которую мы до сих пор изучали в различных случаях, как часть гамильтониана (добавив член кинетической энергии), с тем чтобы рассмотреть консервативную механику наших систем, возникли бы осложнения. Линеаризация получающихся уравнений дает теперь моды выпучивания в виде мод колебаний, возможных перед выпучиванием. Без линеаризации обычно наблюдается сложное эргодическое поведение — особенно вблизи точки бифуркации, рассмотренной в предыдущем параграфе, — которое становится все более и более заметным при больших колебаниях. Разбиение колебаний на моды служит, таким образом, лишь первым приближением, но в большинстве случаев оно полезно, в особенности когда имеется разумное демпфирование, позволяющее тем не менее наблюдать колебания.

В пределах данной моды колебаний восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия, пропорциональна градиенту функции энергии; это правило обычно служит для определения восстанавливающей силы или градиента энергии. В случае квадратичного

приближения для энергии (достаточно хорошего для морсовских минимумов энергии далеко от точек бифуркации, но не точного, так как законы динамики не инвариантны относительно диффеоморфизмов) эта сила пропорциональна амплитуде отклонения от равновесия. Значит, если по оси х в пространств отклонения мы имеем с точностью до второго порядка энергию то с точностью до первого порядка для рассматриваемой моды получается динамика

т. е. мы имеем простой гармонический осциллятор с демпфированием. Для большинства моделей с умеренным демпфированием начальное возмущение приводит к уменьшающимся по амплитуде колебаниям с периодом При стремлении к нулю, т. е. при приближении к квазистатической точке выпучивания, этот период бесконечно возрастает, равно как и амплитуда колебаний с данной начальной энергией. Конечно, ни одна из этих бесконечностей не более реальна, чем бесконечные интенсивности в предыдущей главе. Когда квадратичный член «съеживается», квадратичная аппроксимация становится менее хорошей, и высшие члены предупреждают возникновение бесконечности в обоих случаях. Но чем меньше колебания, тем точнее согласие с опытом. В частности, если слегка ударить по стержню из § 5, он станет совершать колебания в форме с частотой приблизительно вплоть до значения, близкого к значению выпучивания. Значит, ненагруженный, он издаст „тиньк“, при умеренной нагрузке — „бумм“, а вблизи точки выпучивания — „буиинньккк“. (Это великолепно известно опытным инженерам, а неискушенного читателя должно предостеречь от предпочтения конструкций в тоне сопрано басовым.) Подобные явления имеют значение при изучении фазовых переходов (см. § 10 следующей главы), и в точности тот же анализ лежит в основе замечания о периоде малой качки как предупреждении о грозящем опрокидывании (§ 11 гл. 10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление