Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15 Деформация двойного собственного значения

Мы, как и выше, будем работать с пластинкой размером благодаря 4-определенности точки бифуркации нам не нужно рассматривать члены порядка выше 4. (В случае если рассматривается сильная эквивалентность деформаций, теорема 8.7 требует, чтобы мы для деформируемой струи — но не для деформирующих членов — дошли до порядка 6. Соответствующие результаты автоматически содержатся в дальнейшем.)

Положив мы получим из задачи для совершенной пластины однопараметрическую деформацию с точностью до четвертого порядка. При эта функция имеет 9 критических точек; это в точности максимальное число, возможное по теореме 8.5, поскольку прямым вычислением, как в § 13 гл. 8, устанавливается, что функция с 4-струей имеет коразмерность 8 при указанных значениях с. Это лишнее доказательство того, что нам нужно еще 7 членов для полной деформации; но прежде чем искать их, займемся „совершенной" системой.

Наиболее простое представление о ветвлении решений дает рис. 13.37(a), но на нем две поведенческие переменные сжаты в одну. Рисунок 13.37(b) делает более ясным относительное положение решений в -пространстве; к этому надо добавить, что в плоскостях расположены ветви с устойчивыми равновесиями; ветвь состоит из морсовских -седел (максимумы по существенным переменным), а остальные ветви — из -сёдел. На рис. 13.37(c) мы приводим картину линий уровня энергии как функции; отметим малые размеры „бассейнов притяжения" минимумов на оси по сравнению с минимумами на оси Эту черту можно было бы изменить диффеоморфизмом (хотя вблизи точки бифуркации замены, используемые при приведении,

Рис. 13.37 (см. скан)


близки к тождественной), однако относительные высоты в критических точках инвариантны относительно диффеоморфизмов в переменных состояния. Поэтому, рассматривая эту деформацию как выведенную из универсальной, можно показать, что если ограничиться членами второго порядка по то энергии в критических точках равны (с точностью до некоторой общей константы)

Рис. 13.38

Таким образом, энергия, нужная для того, чтобы перейти от одногорбого решения к седлу (а оттуда скатиться в двугорбое состояние), примерно в 23 раза меньше, чем нужно для обратного пути, не говоря уже о том, что требуется меньше заботы для организации такого выталкивания.

На самом деле близость в расположении и в значениях энергии решений на оси к седлам делает очевидным, что с помощью довольно малого возмущения мы можем полностью устранить эти минимумы, сохранив лишь сёдла между бассейнами минимумов на оси Но систематическое изучение этого требует полной деформации. Мы предпочитаем производить деформацию в основном с переменными нагрузки (а не с несовершенствами), имея в виду возможные экспериментальные преимущества. Кроме того, это позволяет избежать сейчас проблемы двух классов параметров, которую мы обсудили в § 11.

В качестве четных членов берем как и раньше, затем о — равномерно распределенную нагрузку на длинных сторонах — линейно меняющуюся распределенную нагрузку на боковых сторонах (рис. 13.38(a) - (с)). Это вводит следующие квадратичные члены:

Линейные и кубические члены входят вместе как подходящие комбинации нормальных нагрузок. Для точечных нагрузок приходится прибегать к чуть более тонким рассуждениям, чем для распределенных нагрузок, но мы все же возьмем точечные ради большей физической ясности. Естественный выбор для -члена показан на рис. 13.38(d); точнее, центральная нагрузка дает член

Любое расположение нагрузок, имеющее симметрию рис. 13.38(e), даст нам -член. Удобно взять нагрузку, сосредоточенную в точках средней линии на расстоянии от концов; ей отвечает член

Рис. 13.39

В принципе почти любые две дополнительные переменные, отвечающие новым нормальным нагрузкам, в сочетании с уже приведенными дадут линейный и кубический члены, нужные для полной деформации, но как видно из предыдущих выражений, вклад кубического члена получается довольно малым. Поиск комбинации сил, которые бы дали не такие ничтожные чистые кубические члены, привел к конфигурациям нагрузок, прдставленным на рис. 13.38(f) и (g), и к членам

Заметим (рис. 13.39), что эти конфигурации нагрузок как бы заталкивают пластинку в ее третью и четвертую моды выпучивания. Мы еще не проанализировали влияния этих форм как несовершенств, но поскольку малое отклонение в этих модах требует большей силы по сравнению с первыми двумя (так как пластина все еще жесткая — см. ниже § 17— в этих более высоких модах), кубические коэффициенты в соответствующем анализе влияния несовершенств, вероятно, окажутся сравнимыми с другими.

Остается найти квартичный член деформации. Любопытно, что ни одна из рассмотренных нами до сих пор конфигураций нагрузок, действующих в плоскости пластины, не дала члена деформации с квартичной частью, не лежащей в а член „двойного отношения" появится, только если изменить отношение сторон пластины с на . С точностью первого порядка по это дает член деформации

Как может проверить читатель, полученные восемь членов, зависящих от дают теперь трансверсальную деформацию квартики, найденной нами в бифуркационном анализе.

Эта десятимерная геометрия (надо еще посчитать и пока полностью не понята. Это еще один случай катастрофы двойной сборки, но у продеформированной нами квартики все корневые прямые комплексные (а не все вещественные, как в модели Аугусти), и геометрия деформации такая же, как и у квартики частично проанализированной Зиманом [7]. Полное понимание этого примера — а одновременно и других — будет, как мы видим, достигаться рука об руку с пониманием геометрии абстрактных особенностей. На самом деле анализ ветвления, проведенный

Рис. 13.40

Сапплом [122], представляет собой одно из самых важных опубликованных до сих пор исследований этой катастрофы.

К числу дочерних бифуркаций, „организованных" этой катастрофой в том же смысле, в каком линии складок организованы сборкой, принадлежат все катастрофы из списка в конце гл. 7, за исключением и плюс еще каспоид коразмерности 6, дающий деформацию для Это немного неожиданно (без теории катастроф) для исследования, в котором были оставлены лишь члены четвертого порядка: но поскольку тейл может быть устранен подходящим преобразованием, а не просто забыт, -определенность квартичных струй, получающихся в некоторых точках, гарантирует локальную точную приводимость к как и требовалось. с обсуждением кубических точек сборки в эллиптической омбилике в § 6 гл. 9.) Все эти ласточкины хвосты, бабочки, вигвамы и реально и в точности имеются тут, несмотря на то что они очевидным образом требуют членов более высокого порядка, чем мы рассматривали. (Повторим снова: поведение рядов Тейлора от двух и большего числа переменных гораздо удивительнее, чем можно было бы подумать, и ничего более простого, чем правила гл. 8, для того чтобы можно было справиться с этой проблемой, вам не найти.)

Физически эта сложность как будто влечет за собой такие последствия. Для выпучивания по типу стандартной сборки мы получаем с помощью обычного анализа „совершенное" (светлые линии на рис. 13.40(a)) и „несовершенное" (жирные линии) поведение. Несовершенство, связанное с наклоном установки, равно как и те несовершенства, что были рассмотрены для двойственной сборки в § 11, могут вызвать выпучивание „щелчком" при возрастании нагрузки (рис. 13.40(b)), причем максимальная величина сначала линейно возрастает с несовершенством. Но даже и при наклоне большинство историй нагрузки не будет содержать такого прощелкивания; на рис. 13.40(c) оно имеет место лишь для средней линии, проходя через острие. Вероятность скачка не нуль, но и не велика. Однако вблизи составной точки выпучивания, которую мы рассматривали, вещи устроены гораздо тоньше. Анализ, проведенный у Мэгнуса и Постона [125], показывает, что в то время как скачки могут оставаться редкими для грубых экспериментов (где, по-видимому, доминируют линейные несовершенства), усовершенствование экспериментальной техники делает „скачки моды" все более и более частыми. Система ведет себя тем менее, а не тем более гладко, чем больше стараний было приложено! Далее, член двойного отношения, оказывается,

играет геометрически основную роль, несмотря на его топологическую незначительность, — в особенности для „простого" случая . В иных случаях (как например, для пластин) он менее важен как член деформации, но значение двойного отношения в точке деформации сильно влияет на чувствительность к несовершенству.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление