Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИН

14. Уравнения Кармана

Модель энергии, зависящей от кривизны, для изгибания стержня, принятая нами в § 5, была аппроксимацией к „действительным" энергиям растяжения и сжатия в теории упругого твердого тела для стержня конечной толщины. Соответствующие рассмотрения для тонких пластин сопряжены со значительными геометрическими тонкостями и требуют еще больше искусства при решении вопроса, какие именно аппроксимации по дороге к удобным уравнениям следует считать разумными. Говоря широко, союз функционального анализа со строгим усечением рядов методами приведения из теории катастроф может если и не заменить такое искусство, то поддержать его систематичностью и строгими доказательствами. У нас здесь нет места для вывода уравнений, и мы просто приведем наиболее популярную модель — уравнения Кармана, в безразмерной форме. (Сейчас изучаются другие модели для пластин, но чаще всего специалистами по функциональному анализу, которых интересуют топологические вопросы — например существование решений различных типов — а не численные. Это делает их подход «чисто качественным» не в большей степени, чем подход теории катастроф, но чтобы дойти до числа в любой теории, вы должны к этому стремиться.)

Положение пластины моделируется поверхностью края которой должны оставаться на некотором прямоугольнике в плоскости при отсутствии напряжений это прямоугольник с вершинами . В уравнения входит функция задающая -координату точки, вначале находившейся в , и функция описывающая напряжения. К краям прилагается распределенная нагрузка с безразмерной плотностью как показано на рис. 13.32. Мы возьмем уравнения

Рис. 13.32

Кармана в форме, предложенной Бауэром и Райссом [121]:

(где для любых функций и и определенных в указанном прямоугольнике,

и нижние индексы обозначают дифференцирование), с граничными условиями

которые призваны выразить тот факт, что пластинка свободно оперта подобно стержню в § 5.

Мы хотели бы здесь заметить, что такая „простая" опертость — совсем не простое понятие ни в теории — можно отстаивать и иные его математизации, — ни на практике. На рис. 13.33 показана в сечении обычная экспериментальная установка, пожалуй, легче усмотреть, что на края пластины действует небольшой вращающий момент, чем то, что они принуждаются быть прямыми. (В особенности для длинных сторон, на которые, как считается в этой модели, не действует никаких сдавливающих сил с краев вовнутрь!) Пазы заботливо обрабатываются и смазываются маслом; следы краски, нанесенной лаборантом, плохо понявшим инструкцию, могут смазать все результаты такого эксперимента. (Чувствительность к несовершенству не обязательно должна действовать по направлению к прощелкиванию. Не так-то легко заставить стержень выпучиться под продольной нагрузкой при столь низком ее значении, как предсказывает теория. Отчасти дело в том, любое трение порождает что-то вроде „тугой" машины Зимана, в которой скачок „медлит", пока точка управления движется прямо по оси; отчасти в том, что если шарнир страдает ревматизмом, то задача сдвигается в сторону задачи с защемленным

Рис. 13.33

Рис. 13.34

концом, для которой нагрузка выпучивания, во всяком случае, более высока.)

Линеаризованным уравнением будет просто

откуда получаются следующие методы выпучивания для указанных граничных условий:

Оказывается, что если на длинных сторонах силы нулевые или почти нулевые, то имеет значение лишь высшие не могут дать первую моду выпучивания, или энергетически устойчивое равновесие. Значит, возможные моды выпучивания имеют вид Как и в задаче со стержнем, они дают лишь описание первого порядка для формы отклонения, но экспериментально (Саппл [1221) это описание оказывается прекрасным, скажем для стальной пластины вплоть до нагрузки в два с половиной раза больше критической.

Очевидно, пластина размером может выпучиться при той же нагрузке, что и пластина размером или (поскольку -моды, как и пластины можно стыковать друг с другом). Наинизшее значение критическая нагрузка будет иметь для квадрата или же для пластины размером (где — целое число), составленной из квадратов. Общая формула, дающая значение при котором становится решением приведенного выше линеаризованного уравнения, для пластины длины -нагруженном состоянии) выглядит так:

соответствующие графики для различных показаны на рис. 13.35. Ясно, что для большинства вертикальная прямая, отвечающая возрастающему пересечет впервые лишь одну из этих кривых, и пластина выпучится по одной-единственной моде. Вблизи такой точки обычный анализ обнаруживает „устойчивую симметричную диаграмму ветвления", как выше на рис. 13.7(a); добавление сюда любого члена, представляющего нормальную нагрузку (Чжоу,

Рис. 13.35

Хейл и Малле-Парэ берут в 1123) произвольную „абстрактную" добавку; в [124] они более конкретны), приводит к катастрофе стандартной сборки. Ее структурная устойчивость влечет за собой разумную нечувствительность к, скажем, тому обстоятельству, что в точности нулевые горизонтальные силы на длинных сторонах пластины с экспериментальной точки зрения весьма сомнительны.

Однако при для некоторого возрастающее на рис. 13.35 пересечет сразу две кривые; как и в модели Аугусти (рис. 13.29), бифуркация имеет две существенные поведенческие переменные. В частности, при мы имеем и возникают две одновременные моды выпучивания, показанные на рис. 13.36. Переходя от уравнений Кармана к эквивалентной формулировке с энергией и производя в соответствующем гильбертовом пространстве редукцию к существенным переменным в точке выпучивания, мы приходим к такому выражению для энергии:

здесь через обозначена конфигурация, которая с точностью до первого порядка по задается выражением

(эксперимент показывает, что оно достаточно точно при довольно больших и Вычисления (с тремя десятичными знаками) дают

(Все результаты функционально-аналитических вычислений взяты из работы Мэгнуса и Постона [125].)

Симметрии задачи (к делу относятся здесь отражения в плоскостях обеспечивают четность функции по каждой из переменных и в отдельности; при этом условии и с учетом произвольности нашего выбора точки с корангом 2 мы видим, что результат «типичен» настолько,

Рис. 13.36

насколько возможно, — это невырожденная 4-определенная квартика. Однако по мере увеличения мы довольно быстро приближаемся к вырожденной задаче бесконечно длинной пластины с ее непрерывной (переносной) симметрией. Как можно увидеть из рис. 13.35, моды выпучивания все больше скучиваются; кроме того, в точках двойных собственных значений коэффициенты квартики стремятся к вырождению наша 4-струя имеет вид с точностью до восьми значащих цифр). Для качественно точного описания длинных пластин необходимы, следовательно, иные методы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление