Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13 Симметрия; стержни и оболочки

Как мы постоянно видели в последних трех главах (например, для плавучих платформ, шестивалковой мельницы и глории), симметрии обычно приводят к вырожденным функциям со сложными деформациями, для которых

соображения типичности теряют силу. Мы обсуждали в § 3 гл. 7 тенденцию проектировщиков к введению симметрии; при проектировании с оптимизацией такая тенденция особенно выражена. Например, рис. 13.22(c) можно интерпретировать так что при (совершенная зеркальная симметрия) имеется резкий оптимум; „оптимальная" модель Аугусти (с одинаковыми пружинками) имеет все симметрии квадрата. Если все симметрии, которые должны иметь место, заранее указаны, то можно с соответствующими предосторожностями использовать соображения типичности внутри класса функций с этими симметриями. Примером чрезвычайно успешного применения соображений такого рода в эксперименте может служить рассуждение, на основании которого мы решили, что шестивалковая мельница должна дать деформацию для (§ 11 гл. 11). Аналогичным образом 4-струя функции энергии для модели Аугусти в случае совершенной симметрии должна при любой нагрузке иметь вид

Типичным образом в точке бифуркации квартичный член невырожден На самом деле совершенный оптимум в точке бифуркации в модели Аугусти имеет, согласно вычислениям Томпсона и Ханта [105], 4-струю

Квадратная трубка, описанная Кроллом [116], имеет те же симметрии — в действительности о ней больше ничего и не сказано, — так что мы вправе ожидать бифуркации по одному из трех типов двойной сборки (деформация для соответственно существует еще один класс, представленный функцией но здесь нет симметрии квадрата). Таким образом, в результате малого несовершенства вполне могла появиться, как он и утверждает, гиперболическая омбилика — все три типа содержат пятимерные листы таких омбилик в своих универсальных деформациях. (Аналогичным образом они входят и в деформации более высоких вырождений, возможных для данных симметрий, так что ему могло посчастливиться напасть на одно из них, — без дополнительной информации мы не можем доказать, что его 4-струя невырожденна.) „Опасности теории катастроф", обсуждаемые Кроллом, сводятся всего лишь к опасности верить (положившись на какую-нибудь популярную статью), что „всё, что случается, содержится в списке Тома", без учета

Рис. 13.30

симметрий. Такая опасность существует, но это общая опасность неправильного использования плохо понятой математики.

Симметрии иногда возникают и там, где мы заранее их не ожидаем; например в § 9 гл. 10 мы видели, что строго вертикальные борта судна (непрерывная симметрия относительно псевдогруппы вертикальных переносов!) дают поверхность метацентров с особенно простой геометрией — график квадратичной формы. В комбинации с более чем двумя вертикальными плоскостями симметрии, как для плавучей платформы, это приводит для „совершенной" системы к круговой симметрии и, значит, к бесконечно сложной чувствительности к несовершенству. В задаче оказывается больше симметрии, чем доступно глазу, и „рассуждения по типичности" в пределах класса с симметрией квадрата, которые работают для пирамидального судна, терпят крах в применении к судну с вертикальными бортами. Существуют и другие проблемы такого рода, и они вызывают значительные трудности, когда с ними приходится встретиться на деле.

Иногда, однако, они встречаются лишь по видимости (как у нас в § 9, где мы нашли бабочку) — из-за слишком большого желания „упростить" вычисления. Например, в технической литературе обычно считается, что изгибные свойства стержня зависят лишь от эллипса инерции его поперечного сечения и что, следовательно, если он обладает более чем двумя плоскостями симметрии (как, например, квадратный или треугольный стержень на рис. 13.30), эти изгибные свойства обладают вращательной симметрией относительно центральной оси стержня. Это делает „совершенный" анализ совсем легким, так как позволяет убрать из вычислений направление изгибания (почему в это так охотно и верят), и количественно получается не такая уж плохая аппроксимация, чтобы возникла абсолютная необходимость пересмотра такого подхода. В то же время „качественный" анализ становится почти невозможным, как и в аналогичном случае с плавучей платформой, ввиду бесконечной коразмерности. Поэтому тополог не так легко поверит в это, ибо его вычисления были не упрощены, а усложнены: разбивающие симметрию несовершенства могли бы давать бесконечное разнообразие эффектов. Это побуждает провести более подробное исследование, и на поверку оказывается, что теорема об „эллипсе инерции" отвечает усечению ряда Тейлора локальной теории упругости для изгибания стержня до наинизшей возможной разумной степени. Если в конце получается результат конечноопределенный и конечной коразмерности (как это будет для

Рис. 13.31

случая выпучивания стержней прямоугольного или эллиптического поперечного сечения), это прекрасно, но когда усечение вводит вырожденность, самое благоразумное — вернуть назад некоторые отсеченные старшие члены! Мы думаем опубликовать в свое время строгое исследование по этой теме, здесь же мы можем только сообщить, что результаты предварительного анализа обнадеживающе согласуются с соображениями типичности.

Стержни, которые по техническим условиям должны иметь круговое сечение, конечно, имеют круговую симметрию с наилучшей точностью, какую могут обеспечить изготовители. Самое большее, на что тут можно надеяться, — это лишь количественный анализ эффектов возможных несовершенств, но даже и тогда для строгого исследования нужны новые методы.

Подобные же замечания применимы и к теории сферических и цилиндрических оболочек. Здесь сочетаются проблема большого коранга (или „многих одновременных мод“, или „собственных значений высокой кратности" в зависимости от жаргона) и проблема симметрии. Например, в типичной теории цилиндра мы имеем несколько одновременных пар мод выпучивания, например

при различных как показано на рис. 13.31 для малых Вращательная симметрия задачи приводит к вращательной симметрии в каждой из этих плоскостей хпуп (обычно их конечное число). Использование леммы расщепления даст поэтому конечномерную задачу, но с вырожденностью бесконечной коразмерности, с точки зрения тополога.

Такие задачи для оболочек действительно ужасно чувствительны к несовершенству; Томпсон и Хант [120] показывают на примере, что специально подобранные несовершенства, находящиеся в пределах нормальных технических допусков, могут понизить значение критической нагрузки в 10 раз. (Это объясняет, почему теоретическая прочность совершенных систем никогда не была реализована специалистами-практиками и почему многие из последних питают так мало уважения к теории. Без устойчивости, „точный" — самым определенным образом не то же самое, что „правильный".) Априорный метод выделения конечномерного семейства несовершенств, среди которых обязаны находиться наихудшие в смысле чувствительности, должен быть доступен для топологической техники, даже в задачах, где нет

конечной версальной деформации, если только лемма расщепления дает нам конечное число существенных переменных.

Во всяком случае следует признать, что трудности, которые встречаются при изучении цилиндрических и сферических оболочек, возникают вовсе не из-за извращенности той или иной математической формулировки задачи, будь то теория катастроф или метод конечных элементов, но из-за извращенности самой задачи. Хотя этим и не исключается возможность применения концептуально простых методов, вероятно, этим исключается вычислительная простота.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление