Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. (r,s)-устойчивость

Хотя переход от рис. 13.22(a) к (Ь) важен, он ни в коем случае не является единственно возможным возмущением для рис. 13.22(a). В частности, произвольно малое несовершенство в системе может отклонить вершину острия в плоскости как показано на рис. 13.26(a). (Например, легкий наклон всей установки даст такой эффект.) Геометрия сборки сохранится, благодаря структурной устойчивости, но характер ветвления равновесных путей при различных фиксированных радикально изменится. Последовательность рис. 13.26(b) - (е) отвечает изменению слева направо на рис. 13.26(a). Если проводить жесткое различие между параметрами несовершенства, рассматриваемыми как фиксированные для данной физической конструкции, и параметрами нагрузки, которые варьируются, то преобразования, которые перемешивают эти переменные, запрещаются. Однако, лишь располагая такими преобразованиями, можно считать геометрию рис. 13.22 эквивалентной геометрии рис. 13.26. Поэтому „наклон" становится параметром несовершенства нового типа, действие которого не устраняется в этом новом классе допустимых преобразований. Это особенно наглядно показывает рис. 13.27, из которого видно, что при малом наклоне нагрузка, при которой впервые происходит прощелкивание (жирная кривая), становится разрывной функцией от а не просто функцией, имеющей особенности. На экспериментальные точки на рис. 13.24 стоит посмотреть еще раз, имея в виду рис. 13.27.

Количественно эта чувствительность к малым наклонам не так резка, как чувствительность к малым (для канонической двойственной сборки несложно подсчитать, что максимум нагрузки падает квадратично с ростом наклона, подобно метацентрической высоте в § 6 гл. 10, а не с

каким-либо дробным показателем), однако такая „мягкость" не является универсальной для всех несовершенств. Возьмем, например, катастрофу складки. Если складка пересекается трансверсально при изменении нагрузки, взятой в качестве управляющего параметра, результат получится устойчивый и будет гладко отвечать на любые несовершенства. Но если энергия приводится для „совершенной" системы к виду

результаты будут совсем другими. Мы видели в § 6 гл. 8, как это семейство, дополненное одним членом:

приводится к стандартной складке (рис. 13.28(d)). Но преобразования, которые приходится при этом привлекать, здесь совершенно необоснованны; мы не можем менять несовершенство по ходу изменения с тем чтобы превратить нагрузку в немой параметр. Учитывая это различие, мы видим, что в то время как отрицательные значения дают очень слабый эффект (рис. 13.28(a)), положительные приводят к прощелкиванию (рис. 13.28(c)), и притом с худшим понижением максимальной нагрузки, чем в задаче для арки, рассмотренной выше. Из рис. 13.28(d) ясно, что падение происходит по закону а не Эти свойства инвариантны (относительно диффеоморфизмов, которые сохраняют различие нагрузка — несовершенство), как и другие рассмотренные здесь свойства, и они подтверждаются экспериментальными данными Томпсона и Ханта [105]. Все двухпараметрическое семейство устойчиво, и поэтому в типичном случае нельзя избежать его, меняя одну нагрузку и еще какой-нибудь один параметр. Вот почему у Томпсона и Ханта в [110] указываются два общих типа выпучивания против одной томовской „складки" — они пользуются более тонкой классификацией, в которой обычная складка (их „предельная точка") и описываемое ими явление (асимметричная точка бифуркации) не эквивалентны.

Однако ящик Пандоры теории катастроф скрывает в себе еще много разных тварей кроме томовской семерки, и некоторые из них как раз подходят для преодоления этой трудности. Правильное математическое понятие эквивалентности в описанном контексте (как было недавно указано Томпсоном и Хантом [110]) — это -эквивалентность, изученная Вассерманом [111, 112, 118]. На теперешнем нашем языке она заключается в точности в допущении координатных замен по параметрам несовершенства

Рис. 13.27

Рис. 13.28

и только затем — зависящих от замен параметров нагрузки Сверх всего этого, конечно, производится обычная зависящая от замена поведенческих переменных (различение двух родов внешних переменных не снимает этой необходимости), так что обозначения и утверждения теории заметно усложняются. Довольно ясно, что -классификация омбилик тесно связана с геометрической (не чисто топологической) и потому более тонкой классификацией омбилик у Портьюса [118а]. Мощная техника чистой дифференциальной геометрии мало пока эксплуатировалась в инженерной литературе.

Работа Вассермана содержит все необходимые для приложений в этой области теоремы, аналогичные теоремам гл. 7 и 8 (за исключением условий сильной эквивалентности, которые, вероятно, тоже могут быть получены стандартным образом). Но эти вычислительные результаты формулируются с предельной сжатостью языка „кольца ростков", используемого в строгих доказательствах (и даже при такой сжатости в аналоге критерия версальности из гл. 8 фигурирует, из-за отмеченной выше сложности, на шесть членов больше!), что вовсе не способствует быстрому пониманию этих результатов теми, кто является специалистом в других вопросах. Необходим перевод, подобный тому, который дан для общей формулировки в гл. 8 (впервые, как мы недавно узнали, произведенный Ч.Т.К. Уоллом несколько лет тому назад, но распространенный лишь среди нескольких специалистов по физике высоких энергий, которым так и не довелось им воспользоваться) и который бы сделал эти результаты инструментом для широких кругов ученых.

Изложение Вассермана ориентировано в действительности на приложения, но в том смысле, как их понимает тополог, — на приложения к классификации, а не к вычислениям (хотя в его доказательствах много вычислений), и имеет в виду „программу Тома“, как ее иногда понимают: „Лишь устойчивые явления наблюдаются повторно, так классифицируйте их — и вы получите классификацию наблюдаемого мира“. Поэтому он в виде итога перечисляет все -устойчивые и -устойчивые явления, где трех- и одномерные переменные представляют пространство и время. Но ограничения, наложенные на тип эквивалентности, приводят к тому, что меньшее число вещей оказывается устойчивым (как мы это хорошо видели в § 6 гл. 11), и если либо либо больше 1, то мы получаем бесконечности, подобные тем, с которыми сталкивались в § 6 гл. 7 для В результате -устойчивость не будет типичной для

и одна нога риторики такого понимания программы Тома подгибается („прощелкивает").

Для инженерных приложений эта авария не имеет, однако, значения, так как никакая устойчивость никогда не была типичной на чертежных досках — отсюда как раз и происходит нужда в анализе чувствительности к несовершенству. Но недостаток места препятствует нам включить в эту главу необходимые правила. Они заняли бы еще одну главу при том стиле изложения, который мы приняли в этой книге, а обсуждение их использования в технике на примерах, которые достаточно сложны для понимания, заняло бы уже целую монографию. Равным образом нам приходится опустить анализ односторонних ограничений (типа блокировки), которые могут оказывать сопротивление, но не удерживать, толкать, но не тянуть. Они, совсем не редкие в инженерных системах, приводят к катастрофам с ограничениями, каталогизированным в § 7 гл. 16. (Вычислительные правила для них имеют свои особенности, а при скрещивании с -устойчивостью дают нечто почти столь же сложное, как и обычные инженерные формулы.) Заметим только, что „прощелкивание в нижнее положение" в конце § 3 работы Зимана [113] служит примером к рис. 16.9 (и), а не к чему-либо из гл. 9.

Из анализа, проведенного Вассерманом, тривиально вытекает, что число, скажем параметров несовершенства, нужных для полного описания, больше или равно коразмерности вырожденной деформированной особенности минус число параметров нагрузки. (Часто, как и в предыдущих примерах со складкой и сборкой, оно действительно больше и легко может оказаться много больше.) Согласно § 11 гл. 8, эта коразмерность не меньше чем где — коранг особенности или, на языке предыдущих параграфов, число мод выпучивания. (Строгое равенство выполняется лишь для складки и первых двух омбилик.) В большинстве инженерных задач нагрузка дает одну размерность, так что мы имеем

Интересно сопоставить это с эмпирическим правилом из инженерной литературы. Для обычной складки и никакие параметры несовершенства не нужны в том смысле, что они могут влиять на нагрузку прощелкивания лишь гладким образом. Для „асимметричной точки бифуркации", упомянутой выше, Для сборок, оси которых не совпадают с равновесными путями (что редко в инженерной практике), верно то же самое. Для симметричных

сборок, как в §§ 4—10, и для любых других особенностей больше, чем причем в большинстве случаев намного больше. [Добавление при корректуре. Голубицкий и Шеффер теперь систематизировали и подробно описали результаты такого рода анализа.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление