ГЕОМЕТРИЯ ПРОЩЕЛКИВАНИЯ

10. Чувствительность к несовершенству

Если один стержень в сложной конструкции начинает выпучиваться — тем более если несколько стержней сделают это одновременно, — это может вызвать более радикальное

Рис. 13.20

Рис. 13.21

Рис. 13.22

поведение системы, чем то, которое изучалось в §§ 4 и 5. (Мы обсудим такое „сложное" поведение ниже.) Но поведение арки из предыдущего параграфа уже является внезапным и радикальным; в большинстве практически важных случаев скачок "Ha рис. 13.21 представляет собой „прощелкивание“.

Чтобы увидеть, чем на практике оборачивается геометрия двойственной сборки из предыдущего параграфа, вернемся к языку „равновесного пути," как в § 2. Система, для которой симметрия задачи (хотя и не обязательно решения, ср. § 17 гл. 14) является совершенной, даст бифуркацию энергии, приводимой к виду

где — критическая нагрузка, а с — константа. На рис. 13.22(a) изображены соответствующие равновесные пути, жирные для минимумов (устойчивые равновесия) и штриховые — для неустойчивых равновесий. Эта картинка представляет собой, конечно, обычное центральное сечение двойственной сборки, двойственное к сечению, представленному на рис. 6.3. Она точно так же неустойчива; если рассмотреть для малого функцию

то рис. 13.22(a) заменится на рис. 13.22(b); мы видим, что наибольшее значение для которого существуют устойчивые равновесия, существенно ниже. Точнее говоря, нагрузка выпучивания как функция от задается (в правильных локальных координатах) бифуркационным множеством катастрофы двойственной сборки (рис. Устойчивое равновесие локально существует лишь для внутри острия сборки. Обратите внимание на быстрое падение от значения с ростом

Именно с этого начался строгий анализ чувствительности к несовершенству в 1945 г., когда Койтер в своей диссертации [114] получил такие диаграммы точным расчетом конкретных моделей. Значительное внимание стало уделяться показателям чувствительности к несовершенству. Поскольку из рис. 13.22(c) ясно, что нагрузка выпучивания не является гладкой функцией „параметра несовершенства" в, нужно исследовать ее особенности. В нашем случае особенность подчиняется закону

в исходных координатах (где символ имеет свое обычное физическое значение предельного показателя. Разумеется, доказать через четверть века, что в подходящих координатах можно заменить на не бог весть какой триумф теории катастроф в инженерном деле! Особенно если учесть, что отчасти эвристичное использование тейлоровских разложений получило тем временем мощное развитие, а именно у Томпсона и его сотрудников. Для рассматриваемого случая (и вообще для выпучивания по типу двойственной сборки) всё имеющее практическую важность было сказано прежде, чем на сцену вышла теория катастроф. В частности, подход с многообразием катастрофы (в отличие от подхода, сосредоточенного исключительно на путях и их ветвлениях) был введен для случая двух измерений („равновесная поверхность") Сьюэллом в [115], где он на примере установил то (решающее для топологического анализа, основанного на „стратификации") обстоятельство, что кривая складок оказывается гладкой в многообразии катастрофы, а особенность (типа острия) имеет место для ее проекции в пространство параметров деформации. Всё же теория катастроф может быть применена и к особенностям, более высоким, чем сборка (критиков, читавших лишь популярные изложения теории, можно извинить за то, что им это неизвестно). Надежды, возлагаемые на эту теорию, связаны с тем, что она позволяет управиться с этими высшими особенностями, и с ее критериями для „достаточного" числа параметров деформации. (Заметьте, что то, что изображено на рис. 13.22(a), не представляет собой карты многообразия: невырожденная карта (§ 6 гл. 4) для множества равновесия становится возможной, лишь когда мы переходим к универсальной деформации.)

Отметим также, что здесь наибольшее значение приобретают вычислительные аспекты теории, типа тех, о которых шла речь в гл. 8. В инженерном деле, где количественная информация часто бывает легкодоступной, это может быть использовано для распознавания катастрофы. Мы обнаружили бабочку не по взмахам ее крылышек, а вычислив 6-струю. Никто никогда не предлагал решать инженерные задачи подгонкой известных данных под семь элементарных катастроф из списка Тома — во-первых, потому, что это было бы невозможно (см. § 13 ниже), а во-вторых, потому, что у нас в распоряжении есть гораздо более мощные вычислительные средства. Квадратная трубка, которую Кролл выдвигает в [116] как пример, когда такая подгонка данных могла бы ошибочно заставить думать о сборке, является химерой: с чуть большим числом деталей, чем он дает,

Рис. 13.23. По Томпсону и Ханту [105].

Рис. 13.24. Кривая чувствительности к несовершенству для эйлерова стержня; сплошная линия — теоретическая, точки — экспериментальные. (По Роорде [117].)

можно было бы произвести точный количественный анализ в духе выполненного выше. Даже и с приведенной у него информацией немедленно ясно из соображений симметрии, что в его примере никак нельзя думать о сборке (см. § 13).

Область, в которой методы тейлоровской аппроксимации, практикуемые инженерами и систематизированные теорией катастроф, дают хорошее согласие с действительностью уже в исходных координатах, часто оказывается достаточно широкой. Напомним, что теоремы гл. 8 обещают точность лишь после гладких замен координат — правда, если угодно, с производной, равной в точке выпучивания тождественному отображению, — и лишь в некоторой окрестности, априори, возможно, малой. Рисунок 13.23 получен при изучении другой двойственной сборки (подпертая консоль), проведенном Томпсоном и Хантом в [105], в котором точное бифуркационное множество оказалось необычайно легко отыскать в явном виде. (Кстати, Сьюэлл [96] выражает сожаление, что здесь используется термин „бифуркационное множество", поскольку складка не дает никаких бифуркаций для равновесного пути. Однако функция энергии разветвляется от некоторой точки перегиба на два близких типа с критическими точками и без них, что и располагает тополога к употреблению слова „бифуркация". Мы будем им пользоваться здесь из соображений согласованности со всеми остальными частями книги.)

Бифуркации сборки и двойственной сборки часто дают одинаково хорошее согласие с экспериментом. Для слабо выгнутой арки (рис. 13.18) на рис. 13.24 представлены результаты экспериментов, проведенных Роордой [117] в 1965 г. Отметим, что степенной закон с показателем 2/3, предсказанный геометрией, выполняется лучше, чем симметрия; неизбежные экспериментальные погрешности сдвигают немного острие в плоскости но это может быть скомпенсировано небольшой заменой координат. Приведем также следующую численную характеристику влияния несовершенств: асимметрия, эквивалентная перемещению груза примерно на в сторону, понижает нагрузку, при которой происходит прощелкивание, почти на 6%.

Но иногда „локальное" так и означает локальное — не более того. Например, рис. 13.14(b) показывает, что двойственная сборка может иметь лишь локальное влияние; „вторичные бифуркации", представленные двумя близкими стандартными сборками, скрадывают ее, если смотреть в более крупном масштабе. Как можно видеть из приведенной на рис. 13.25 диаграммы ветвления для „совершенной"

Рис. 13.25

Рис. 13.26

системы, указанные на рисунке скачки, происходящие при возрастании будут совсем незначительными вблизи точки бабочки.

Отметим, что мы нашли эти „вторичные" складки на рис. 13.25, проследив их от первичной точки бабочки при изменении у, а не с помощью специального исследования вторичных бифуркаций, которое обычно сложнее. Когда вторичные бифуркации имеют „организующий центр", как здесь, лучше проварьировать несколько дополнительных параметров, чтобы им воспользоваться, даже в случае, если на самом деле их значения фиксированы для данной системы.