Главная > Разное > Теория катастроф и ее приложения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7 Геометрия многочленов

Многочлен от переменных это выражение вида

где — положительные целые (или нуль), — вещественные числа и общее число членов конечно. Степенью многочлена называется наибольшее среди чисел Для которых Если отличен от нуля только один какой-нибудь коэффициент, то называется одночленом. Алгебраическое множество в — это множество вида

где многочлены от Например, единичная сфера

является алгебраическим множеством. Полуалгебраическое множество задается полиномиальными неравенствами , где — любой из знаков Такие множества естественно возникают по следующей причине. Если функция задана при помощи многочленов

и А — какое-нибудь алгебраическое множество в то не обязано быть алгебраическим множеством (возьмите но оно всегда полуалгебраично.

Здесь мы заинтересованы не столько в исследовании математических свойств алгебраических и полуалгебраических множеств (исторически это — исходная точка для очень глубокого предмета — алгебраической геометрии), сколько в том, чтобы научиться быстро и хорошо представлять себе их геометрию, особенно для , когда уже нельзя рисовать картинки (если не прибегать к специальным трюкам). Наиболее полезным методом является метод сечений. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а покажем действие метода на ряде отдельных примеров. По мере нашего продвижения вперед появится еще много других примеров.

Рис. 2.11

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Первые два примера относятся к где мы сможем сравнивать сечения с самими объектами.

(1) Пусть Мы желаем представить себе множество

Фиксируем какое-либо значение скажем Точка принадлежит если и только если

т. е.

Можно рассматривать как систему координат в плоскости спроектировав на нее плоскость с помощью функции

(см. рис. 2.12). Тогда для каждого выбора а уравнение (2.7) определяет кривую в плоскости Форма этой кубической кривой зависит главным образом от знака а, и рис. 2.13 показывает три типичных случая. Мы „складываем" эти кривые в поверхность, заставляя а изменяться (рис. 2.14(a)); ясно, что при этом получается поверхность с мягкой складкой, как это (с более плавными переходами) изображено на рис. 2.14(b). С этой поверхностью мы встретимся много раз в приложениях теории катастроф.

(2) Пусть Мы хотим представить себе множество

(С точностью до обозначений это то самое множество точек которым мы занимались в § 5, где утверждалось, что это конус.)

На этот раз удобно сначала перейти к новым осям. Положим

Тогда наше уравнение принимает вид

т. е.

Рис. 2.14

Рис. 2.15.

Каждое сечение плоскостью очевидно, дает окружность радиуса и поскольку радиус линейно возрастает, при „сложении" сечений действительно получается конус, представленный на рис. 2.15. Преобразование координат, использованное нами, состоит в повороте плоскости на 45° и растяжении с коэффициентом У 2 в направлении оси Осью полученного конуса служит ось и:

которая в исходных координатах задается уравнениями

Поэтому наш двойной конус расположен в точности так, как показано на рис. 2.16. Заметьте, что из-за растяжения в направлении оси конус имеет эллиптическое, а не круговое поперечное сечение.

(3) Пусть теперь

на сей раз это — полуалгебраическое множество (почему?). Легко видеть, что для фиксированного значения с

Рис. 2.16

Рис. 2.17.

Это сечение не изменяется, пока а для других значений а оно пусто. Значит, можно сказать, что — это „четырехмерный цилиндр" высоты 2, основанием которого служит упомянутая боковая поверхность цилиндра высоты 4.

(4) Пусть и

— множество, хорошо знакомое тем, кто занимался теорией относительности! Для фиксированного сечение задается уравнением

это сфера радиуса Так как радиус меняется линейно с а, множество У есть «двойной конус» над этой сферой, аналогичный двойному конусу из примера (2). Сферы „складываются стопкой" вдоль оси как показано на рис. 2.17.

Чтобы научиться представлять себе множества в размерностях четыре и выше, требуется изрядно попрактиковаться, и наши примеры намного проще тех, что встретятся нам позднее; однако в настоящую минуту вряд ли будет полезным заниматься этим здесь дальше.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление